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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Fr 18.07.2008 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | 1) Lösen Sie [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] 2a_{n} [/mm] - 3n + 4$ mit der Anfangsbedingung [mm] $a_0 [/mm] = 1$
2) Lösen Sie $ [mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] 4a_{n+1} [/mm] - [mm] 4a_{n} [/mm] + [mm] 3^n$ [/mm] mit den Anfangsbedingungen [mm] $a_0 [/mm] = 10, [mm] a_1 [/mm] = 39$
Tipp: Machen Sie für die spezielle Lösung den Ansatz [mm] $a_n [/mm] = k * [mm] 3^n$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich stecke gerade mitten in einer Klausurvorbereitung und verzweifle an diesen beiden Aufgaben. Ich war der Meinung lineare (in-)homogene Rekursionen gut lösen zu können. Jedoch stimmen meine beiden Lösungen zu obigen Aufgaben mit den Lösungen in meinem Lehrbuch nicht überein (der Rechenweg ist nicht angegeben, nur die Lösung). Daher bitte ich um eure Mithilfe!
Man geht ja beim Lösen inhomogener linearer Rekursionen k-ter Ordnung wie folgt vor:
1) Man bestimmt die Lösung für den homogenen Teil der Rekursion. Man stellt also das charakterische Polynom auf und bestimmt dessen Nullstellen. Anschließend ist die explizite Formel des homogenen Teilproblems [mm] $a_n [/mm] = [mm] k_1 [/mm] * [mm] \alpha_{1}^n [/mm] + ... + [mm] k_r [/mm] * [mm] \alpha_{r}^n$ [/mm] für Grad $r$ und den Fall, dass alle Nullstellen paarweise verschieden sind.
2) Anschließend bestimmt man eine spezielle Lösung des inhomogenen Teils der Rekursion.
3) Das Ergebnis ist die Summe des homogenen Teils und des inhomogenen Teils.
Konkret an Aufgabe 1)
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] 2a_{n} [/mm] - 3n + 4$ mit Rekursionsanfang [mm] $a_0 [/mm] = 1$
1) Homogener Teil:
Charakterisches Polynom lautet $p(z) = z - 2$
Die einzige Nullstelle lautet 2 mit Vielfachheit 1. Also ist die explizite Darstellung des homogenen Teils [mm] $a_n [/mm] = k * [mm] 2^{n}$
[/mm]
2) Inhomogerner Teil:
Der inhomogene Anteil der Rekursion ist $q = -3n + 4$, also linear.
Als Ansatz wähle ich also [mm] $a_n [/mm] = yn + z$ und setze dies in die Rekursion ein.
$ y(n+1) + z = 2(yn +z) - 3n + 4 $
$ y-z - 4 = n(y-3)$
Daraus folgt das lineare Gleichungssystem:
$ y - z = 4 $
$ y - 3 = 0 $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] y = 3, z = -1 $
Also insgesamt ergibt sich für die Summe der homogenen und ihomogenen Lösung:
[mm] $a_n [/mm] = k * [mm] 2^{n} [/mm] + 3n - 1 $
Fehlt nur noch das Ensetzen der Anfangsbedingung:
[mm] $a_0 [/mm] = k * [mm] 2^{0} [/mm] + 3 * 0 - 1 = 1$
$ [mm] \gdw [/mm] k - 1 = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] k = 2$
Also folgt für die explizite Formel:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm] + 3n - 1$
Die Lösung im Buch lautet hingegen $ [mm] a_n [/mm] = [mm] -2^n [/mm] + 3n +2$
Aufgabe 2 habe ich nach demselben Verfahren gelöst. Ich habe auch beachtet, dass das charakterische Polynom die Nullstelle 2 mit Vielfachheit 2 besitzt.
Mein Lösung: [mm] $a_n [/mm] = 9 * [mm] 2^n [/mm] + 9 * n * [mm] 2^n [/mm] + [mm] 3^n$
[/mm]
Lösung im Buch: [mm] $a_n [/mm] = [mm] 2^n [/mm] + 5 * n * [mm] 2^n [/mm] + [mm] 3^{n+2}$
[/mm]
Was ist da los? Was hab ich denn falsch gemacht?
Help me, pleaaase! :-(
viele Grüße
jboss
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Hallo jboss!
Berechne a0,a1,a2 .
Du wirst erkennen,daß Deine Lösungen beide richtig sind,und die Lösungen aus dem Buch sind falsch.
Grüße Martha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Fr 18.07.2008 | | Autor: | jboss |
Oh cool, hätte ich aber auch selber drauf kommen können :-(
Ich danke dir für den Hinweis.
viele Grüße
jboss
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