lineare, stetige Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Do 07.10.2004 | | Autor: | Carolin |
Hallo,
ich mache bald eine Prüfung in Funktionalanalysis, in der auch Grundlagen aus der Analysis drankommen, und meine Ana-Prüfung ist schon sooooo lange her, dass ich mich nicht mehr so recht erinnern kann. 
Ich soll beweisen: Sei A linearer Operator von X nach Y (beide normierte Räume). Dann gilt:
A beschränkt (d.h. endliche Operatornorm) [mm] \Rightarrow [/mm] Das Bild einer beschränkten Menge in X ist eine beschränkte Menge in Y.
Angeblich folgt diese Behauptung "leicht" aus der Linearität von A.
Ich hätte nur gerne einen exakten Beweis.
Kann mir jemand helfen, bei dem Ana noch nicht ganz so lange her ist?? *G*
Danke!
Caro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Do 07.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Carolin!
Die Operatornorm eines linearen Operators $A: [mm] (X,\Vert \cdot \Vert_X) \to (Y,\Vert \cdot \Vert_Y)$ [/mm] ist ja wie folgt definiert:
[mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{X,Y}:= \sup\limits_{x \ne 0} \frac{\Vert Ax \Vert_Y}{\Vert x \Vert_X}$.
[/mm]
Nach Voraussetzung gilt hier:
[mm] (*)$\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{X,Y} [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Nach Definition von [mm] $\Vert [/mm] A [mm] \Vert_{X,Y}$ [/mm] gilt für alle $x [mm] \in [/mm] X$ (beachte: für $x=0$ gilt dies trivialerweise):
(**) [mm] $\Vert [/mm] Ax [mm] \Vert_Y \le \Vert [/mm] A [mm] \Vert_{X,Y} \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert_X$.
[/mm]
Ist nun $M [mm] \subset [/mm] X$ beschränkt, dann gibt es eine Konstante $0 [mm] \le [/mm] C < [mm] \infty$ [/mm] mit
(***) [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_X \le [/mm] C$ für alle $x [mm] \in [/mm] M$.
Zu zeigen ist: Für alle $x [mm] \in [/mm] A(M)$ (also dem Bild von $M$ unter $A$) gibt es eine Konstante $0 [mm] \le [/mm] C' < [mm] \infty$ [/mm] mit:
[mm] $\Vert [/mm] y [mm] \Vert_Y \le [/mm] C'$.
Wie kann man das mit Hilfe von (*), (**) und (***) zeigen?
Hast du eine Idee?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Do 07.10.2004 | | Autor: | Carolin |
Hi Stefan,
ist mir ja echt peinlich, dass DU immer meine Fragen beantwortest *g*.
Habs verstanden.
Unser Prof meinte, man solle es mit der Definition von Linearität A(au+bv)=aA(u)+bA(v) herleiten,
aber so ist es besser!
Danke!!
Caro
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