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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 So 19.10.2008 | | Autor: | sillium |
| Aufgabe | Für y [mm] \in \IR [/mm] seien a = [mm] \vektor{y \\ 1 \\ 0} [/mm] , b = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ y} [/mm] , c = [mm] \vektor{1 \\ y \\ 1} [/mm] Elemente von [mm] \IR³. [/mm] Für welche y ist
a) {a,b,c} linear unabhängig ?
b) Das Tupel (a,b,c) linear unabhängig ? |
hallo,
Bei teilaufgabe a) ist mir klar das die vektoren multipliziert mit jeweils einem skalar zum nullvektor führen müssen. also c1*a+c2*b+c3*c=0 während mindestens einer der skalare ungleich 0 sein muss. damit kann ich auch eine matrize aufbauen nur hilft die mir irgendwie nicht weiter. wie kann man da vorgehen?
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Die Antwort führt auf ein homogenes lineares Gleichungssystem in [mm] c_{1}, c_{2} [/mm] und [mm] c_{3} [/mm] .
Wobei die Lösbarkeit im Allgemeinen von y abhängt.
Stell doch mal dieses lineare Gleichungssystem auf.
Im Anschluss versuchen wir es gemeinsam zu lösen.
Selbstverständlich kannst du es mithilfe einer Matrix formulieren:
Sei [mm] A\in\IR^{3,3} [/mm] und [mm] \vec{c}\in\IR^{3}.
[/mm]
Dann führt es zu folgender Darstellung:
[mm] A\vec{c}=\vec{0}.
[/mm]
gesucht sind nun all jene [mm] \vec{c} [/mm] die obige Gleichung erfüllen, also, die bewirken dass links und rechts das gleiche steht.
Grüße Elvis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 So 19.10.2008 | | Autor: | sillium |
okay,
also das lgs sieht so aus:
y*c1 + c3 = 0
c1 + c2 +y*c3 = 0
y*c2 + c3 = 0
und die matrix:
y 0 1 | 0
1 1 y | 0
0 y 1 | 0
wenn ich die matrix nach gauß bearbeite bleib ich hengen bei:
1 0 1/y | 0
0 1 y-1/y | 0
0 0 2/y - y| 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 So 19.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest eine Rueckfrage nicht als Mitteilung schreiben, dann sieht das niemand als frage und du kriegst nur aus Zufall antwort.
besser haettest du dein GS als
1 1 y
y 0 1
0 y 1
geschrieben. du kannst nicht einfach durrch y div. wenn du nicht zuvor y=0 getrennt behandelt hast, und dann [mm] y\ne0 [/mm] vorraussetzt
mit y=0 kanns!
mein GS wird zu:
1 1 y
0 -y [mm] 1-y^2
[/mm]
0 0 [mm] 2-y^2
[/mm]
findest du jetzt y werte, fuer die es ein c [mm] \ne [/mm] 0 gibt?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 19.10.2008 | | Autor: | sillium |
okay, ich hab mal mit deinem lgs gearbeitet und für das lgs könnte man für [mm] y=\wurzel{2} [/mm] eine lösung bekommen durch c1 = c2 = [mm] -1/\wurzel{2} [/mm] und c3= 1.
wenn das stimmt hab ich ein y gefunden durch willkürliches herum probieren, aber wie kann ich alle direkt finden oder eben klar stellen das es vllt sogar für alle y R gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 19.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch die letzte Gleichung:
[mm] c3*(y^2-2)=0
[/mm]
daraus fuer [mm] y\ne \wurzel{2} [/mm] c3=0 und daraus dann auch c2=0 und c1=0
fuer [mm] y^2-2=0 [/mm] folgt c3 beliebig, daraus c2= aus der vorletzten zeile und c1 ='' aus der ersten.
Warum muss man da rumraten?
jetzt nur noch y=0 untersuchen (weil ja auch ich Gleichungen dann mit 0 multipl. hab.
entweder gibts da [mm] c\ne0 [/mm] dann sind die fuer [mm] y=\wurzel{2} [/mm] und y=0
linear abh. oder nur fuer [mm] y=\wurzel [/mm] 2
fuer alle anderen dann lin unabh.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 19.10.2008 | | Autor: | sillium |
okay, gut nun hab ichs verstanden. vielen dank
y darf auch : - wurzel(2) sein!?
und was bedeutet die aufgaben stellung mit einem tupel??
(a,b,c)??
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> okay, gut nun hab ichs verstanden. vielen dank
>
> y darf auch : - wurzel(2) sein!?
Hallo,
die vollständige Lösung der Frage nach der linearen Unabhängigkeit der drei Vektoren lautet, daß sie für [mm] y\in \{ \wurzel{2}, -\wurzel{2}, 0\} [/mm] linear abhängig sind und sonst linear unabhängig.
>
> und was bedeutet die aufgaben stellung mit einem tupel??
> (a,b,c)??
Wir gucken uns jetzt mal an, welche Vektoren wir erhalten, wenn wir [mm] y=\wurzel{2} [/mm] einsetzen:
[mm] a_{\wurzel{2}}=\vektor{\wurzel{2}\\1\\0}, b_{\wurzel{2}}=\vektor{0\\1\\\wurzel{2}}, c_{\wurzel{2}}=\vektor{1\\\wurzel{2}\\1}. [/mm]
Daß die Familie [mm] (\vektor{\wurzel{2}\\1\\0},\vektor{0\\1\\\wurzel{2}},\vektor{1\\\wurzel{2}\\1}) [/mm] linear abhängig ist, hast Du ja gerade zuvor ausgerechnet, und
für die Menge der Vektoren in [mm] \{(\vektor{\wurzel{2}\\1\\0},\vektor{0\\1\\\wurzel{2}},\vektor{1\\\wurzel{2}\\1}\} [/mm] ergibt sich nichts anderes.
Für y=0 hingegen sieht die Sache anders aus:
[mm] a_{0}=\vektor{0\\1\\0}, b_{0}=\vektor{0\\1\\0}, c_{0}=\vektor{1\\0\\1}.
[/mm]
Die lineare Abhängigkeit der Familie [mm] (\vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\0\\1}) [/mm] hast Du zuvor ja gezeigt - sie ist auch ohne rechnung augenfällig.
Schau nun aber die Menge [mm] \{\vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\0\\1}\} [/mm] an:
es ist [mm] \{\vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\0\\1}\} [/mm] = [mm] \{ \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\0\\1}\} [/mm] , und die beiden in dieser Menge enthaltenen Elemente sind linear abhängig!
Du solltest hieran wohl lernen, warum man lineare Unabhängigkeit für Familien von Vektoren definiert und nicht für Mengen von Vektoren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 20.10.2008 | | Autor: | sillium |
müsste nicht die menge im fall y=0 linear unabhängig sein!?
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Hallo!
Ich denke, genau das meinte Angela: Linear unabhängig ist die Menge dann 
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 20.10.2008 | | Autor: | sillium |
okay! ^^ danke
aber wenn das der fall ist dann wird doch meine antwort zu a) als falsch dargestellt. den da sag ich ja noch für y=0 ist die menge {a,b,c} l.a. aber sie ist ja l.u. da die identischen vektoren wegfallen!?
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Hallo!
Mir ist jetzt zwar ein bissel unklar, auf welchen Post du dich beziehst, ich versuche es trotzdem zu beantworten und nehme deinen allerersten als Referenz:
Das Problem beim Nachweis liegt eigentlich nicht bei der Linearen Unabhängigkeit, sondern bei der Linearen Abhängigkeit. Für Mengen oder Tupel kann ich mit der typischen Lineare-Unabhängigkeits-Gleichung Lineare Unabhängigkeit zeigen.
Wenn ich aber mit Hilfe der Gleichung für die Lineare Unabhängigkeit zeigen will, dass die Menge / das Tupel linear abhängig ist, führt das zu Problemen. Denn dann kann bei der Menge der Fall auftreten, dass sich linear abhängige Vektoren gegenseitig "rauskürzen", weil sie exakt gleich sind. Man müsste also die Bedingung ein wenig umformulieren, damit die funktioniert:
Falls die Gleichung [mm] c_{1}*a [/mm] + [mm] c_{2}*b+c_{3}*c [/mm] = o unendlich viele Lösungen hat und [mm] a\not= [/mm] b und [mm] a\not=c [/mm] und [mm] a\not= [/mm] c gilt, ist die Menge {a,b,c} linear abhängig.
Dann hat man das Problem gelöst ^^
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Lorence |
> und c1=0
> fuer [mm]y^2-2=0[/mm] folgt c3 beliebig, daraus c2= aus der
> vorletzten zeile und c1 ='' aus der ersten.
Kannst du mal die konkreten Werte hinschreiben?
Ich hab wenn y = [mm] \wurzel{2} [/mm] ist, dann ist c3 ja 0
c2 ist dann - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
c3 ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Stimmt das?
Wenn [mm] y\not=\wurzel{2} [/mm] dann ist c1,c2,c3 = 0
für welche werte von y ist jetzt die lineare unabhängigkeit geben?
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> > und c1=0
> > fuer [mm]y^2-2=0[/mm] folgt c3 beliebig, daraus c2= aus der
> > vorletzten zeile und c1 ='' aus der ersten.
>
> Kannst du mal die konkreten Werte hinschreiben?
>
> Ich hab wenn y = [mm]\wurzel{2}[/mm] ist, dann ist c3 ja 0
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, das stimmt nicht.
Wenn [mm] y=\wurzel{2} [/mm] ist, so ist [mm] (1-y^2)c_3=0 [/mm] für alle [mm] c_3\in \IR [/mm] richtig und nicht etwa nur für [mm] c_3=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mo 20.10.2008 | | Autor: | Lorence |
> Nein, das stimmt nicht.
> Wenn [mm]y=\wurzel{2}[/mm] ist, so ist [mm](1-y^2)c_3=0[/mm] für alle [mm]c_3\in \IR[/mm]
> richtig und nicht etwa nur für [mm]c_3=0.[/mm]
Also ich habe [mm] y=\wurzel{2} [/mm] in die 2te Zeile eingesetzt und dann c2 ausgerechnet, dann habe ich c3 und c2 in die erste Zeile eingesetzt? Und du sagst das Stimmt nicht? Leider konnte ich mit deiner Antwort nicht sehr viel anfangen?
Gruß
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> > Nein, das stimmt nicht.
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> > Wenn [mm]y=\wurzel{2}[/mm] ist, so ist [mm](1-y^2)c_3=0[/mm] für alle [mm]c_3\in \IR[/mm]
> > richtig und nicht etwa nur für [mm]c_3=0.[/mm]
>
> Also ich habe [mm]y=\wurzel{2}[/mm] in die 2te Zeile eingesetzt und
> dann c2 ausgerechnet, dann habe ich c3 und c2 in die erste
> Zeile eingesetzt? Und du sagst das Stimmt nicht?
Hallo,
schau erstmal, worau sich "Nein, das stimmt nicht." bezieht und beachte, daß es nach "Nein, das stimmt nicht." ja noch ein bißchen weitergeht ...
Wenn Du [mm] (1-y^2)c_3=0 [/mm] für [mm] y=\pm\wurzel{2} [/mm] betrachtest, so folgt eben nicht, daß [mm] c_3=0 [/mm] ist.
Was erfahren wir aus [mm] (1-y^2)c_3=0 [/mm] ?
Wir müssen hier zwei Fälle unterscheiden:
1.Fall: [mm] y^2=2
[/mm]
dann wird die betrachtete Gleichung zu 0=0, und das System reduziert sich zu einem homogenen linearen Gleichungssystem, welches aus 2 Gleichungen mit drei Unbekannten besteht.
Dieses wäre nun weiterzuuntersuchen.
Die genaue Lösung interessiert für die Aufgabenstellung allerdings gar nicht, man will ja nur wissen, ob es nur die eine Lösung [mm] c_3=c_2=c_1=0 [/mm] gibt, oder ob es auch eine nichttriviale Lösung gib.
2.Fall: [mm] y^2\not=2
[/mm]
Dann folgt aus [mm] (1-y^2)c_3=0 [/mm] daß [mm] c_3=0 [/mm] ist,
und Du kannst das in gewohnter Manier einsetzen und dann weitermachen.
Der nächste "Stolperstein" folgt aber auf dem Fuße. [mm] yc_2=0.
[/mm]
Hier muß man wieder über zwei Fälle nachdenken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 So 19.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
> mein GS wird zu:
> 1 1 y
> 0 -y [mm]1-y^2[/mm]
> 0 0 [mm]2-y^2[/mm]
kann mich bitte jemand aufklären, wie man auf das [mm] y^2 [/mm] kommt? irgendwie will ich das nich so wirklich hinbekommen... Vielen dank
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> > mein GS wird zu:
> > 1 1 y
> > 0 -y [mm]1-y^2[/mm]
> > 0 0 [mm]2-y^2[/mm]
>
> kann mich bitte jemand aufklären, wie man auf das [mm]y^2[/mm]
> kommt? irgendwie will ich das nich so wirklich
> hinbekommen... Vielen dank
Hallo,
Du meinst den Übergang von
1 1 y
y 0 1
0 y 1
nach
1 1 y
0 -y $ [mm] 1-y^2 [/mm] $
0 0 $ [mm] 2-y^2 [/mm] $ ?
-y*1.Zeile + 2. Zeile,
anschließend die neue 2.Zeile +3.Zeile.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:19 So 19.10.2008 | | Autor: | sillium |
zum b) teil der aufgabe,
wo liegt der unterschied bei der bearbeitung der aufgabe wenn es sich um ein tupel handelt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 So 19.10.2008 | | Autor: | defjam123 |
Würde nicht alles viel schneller mit der Determinante fuktionieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Mo 20.10.2008 | | Autor: | sillium |
man darf leider keine themen nutzen die noch nicht VL-stoff waren!
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> zum b) teil der aufgabe,
>
> wo liegt der unterschied bei der bearbeitung der aufgabe
> wenn es sich um ein tupel handelt?
Hallo,
s. oben
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Di 21.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Zum Aufgabenteil b) mit dem Tupel:
Also ich hab grade ein wenig im Skript rumgeblättert, und bin auf folgendes gestoßen:
"Das Tupel heißt linear unabhängig genau dann, wenn 0 nicht als nichttriviale Linearkombination von [mm] a_{1},...,a_{m} [/mm] schreibbar ist."
D.h. ein a muss ungleich Null sein, also in unserem Falle einer unserer Vektoren a,b,c.
Wenn wir jetzt sagen:
0= x*a+y*b+z*c
[mm] x*\pmat{ a \\ 1 \\ 0 }+y*\pmat{ 0 \\ 1 \\ a }+z*\pmat{ 1 \\ a \\ 1 }=-1*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }+1*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }+0*\pmat{ 1 \\ a \\ 1 }=0
[/mm]
Somit wäre das Tupel in diesem Falle doch linear unabhängig oder?
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> Zum Aufgabenteil b) mit dem Tupel:
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> Also ich hab grade ein wenig im Skript rumgeblättert, und
> bin auf folgendes gestoßen:
>
> "Das Tupel heißt linear unabhängig genau dann, wenn 0
> nicht als nichttriviale Linearkombination von
> [mm]a_{1},...,a_{m}[/mm] schreibbar ist."
>
> D.h. ein a muss ungleich Null sein, also in unserem Falle
> einer unserer Vektoren a,b,c.
>
> Wenn wir jetzt sagen:
> 0= x*a+y*b+z*c
> [mm]x*\pmat{ a \\ 1 \\ 0 }+y*\pmat{ 0 \\ 1 \\ a }+z*\pmat{ 1 \\ a \\ 1 }=-1*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }+1*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }+0*\pmat{ 1 \\ a \\ 1 }=0[/mm]
das soll sicher [mm] =-1*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }+1*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }+0*\pmat{ 1 \\ \red{0} \\ 1 }=0[/mm] [/mm] heißen.
>
> Somit wäre das Tupel in diesem Falle doch linear unabhängig
> oder?
Hallo,
nein.
Du hast die Null als nichttriviale Linearkombinantion geschrieben, und damit gezeigt, daß die Null als nichttriviale Linearkombination schreibbar ist.
Somit ist das Tupel lt. Def. nicht linear unabhängig, also linear abhängig.
Gruß v. Angela
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