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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:21 Do 07.07.2011 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Finden Sie die reellen Lösungen von [mm] y'=\pmat{1&-1\\3&1}y. [/mm] |
Hallo,
ich bezeichne die Matrix mit A und will die Aufgabe mithilfe der Spektralformel lösen. Es geht also darum, die Fundamentalmatrix [mm] e^{xA} [/mm] zu berechnen. Dazu werden zunächst die Eigenwerte von A benötigt, sie sind [mm] \lambda_1=1+\sqrt{3}i [/mm] und [mm] \lambda_2=1-\sqrt{3}i.
[/mm]
Ansatz:
[mm] f(A)=f(\lambda_1)*z_1+f(\lambda_2)*z_2.
[/mm]
Dabei sind [mm] z_1,z_2 [/mm] unabhängig von f zu bestimmen. Ich setze also Polynome [mm] p_1,p_2 [/mm] für f ein:
[mm] p_1(\lambda)=z-\lambda_1 \Rightarrow p_1(A)=A-\lambda_1*I\stackrel{!}{=}p_1(\lambda_1)*z_1+p_1(\lambda_2)*z_2=0+(\lambda_2-\lambda_1)*z_2=-2\sqrt{3}i*z_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_2=\frac{\lambda_1*I-A}{2\sqrt{3}i}
[/mm]
[mm] p_2(\lambda)=z-\lambda_2 \Rightarrow p_2(A)=A-\lambda_2*I\stackrel{!}{=}p_2(\lambda_1)*z_1+p_2(\lambda_2)*z_2=(\lambda_1-\lambda_2)*z_1+0=2\sqrt{3}i*z_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow z_1=\frac{A-\lambda_2*I}{2\sqrt{3}i}.
[/mm]
Jetzt Einsetzen in die Spektralformel und nach Potenzen von A sortieren:
[mm] e^{xA}=e^{\lambda_1 x}\frac{A-\lambda_2*I}{2\sqrt{3}i}+e^{\lambda_2 x}\frac{\lambda_1*I-A}{2\sqrt{3}i}=\frac{A}{2\sqrt{3}i}\left(e^{\lambda_1 x}-e^{\lambda_2 x}\right)+\frac{I}{2\sqrt{3}i}\left(\lambda_1 e^{\lambda_2 x}-\lambda_2 e^{\lambda_1 x}\right)
[/mm]
Ich setze erst einmal [mm] u:=\sqrt{3}i. [/mm] Dann folgt weiter [mm] (e^1 [/mm] ausklammern):
[mm] \ldots=e^1*\left(\frac{A}{2\sqrt{3}i}\left(e^{u x}-e^{-u x}\right)+\frac{I}{2\sqrt{3}i}\left((1+u) e^{-u x}-(1-u) e^{u x}\right)\right)=e*\left(\frac{A}{\sqrt{3}}\frac{e^{u x}-e^{-u x}}{2i}+I\frac{e^{-u x}+e^{u x}}{2}+\frac{I}{\sqrt{3}}\frac{e^{-u x}-e^{u x}}{2i}\right)
[/mm]
[mm] \ldots=e\left(\frac{A}{\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}x)+I\cos(\sqrt{3}x)-\frac{I}{\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}x)\right)=:\Phi.
[/mm]
Damit ist die allgemeine Lösung [mm] \Phi*c, c\in\IR^2.
[/mm]
Ich bin mir zwar ziemlich sicher, bitte aber dennoch um Korrektur. Danke!
Gruß, pyw
P.S: Eine Frage an die Latex-Experten:
Wie kann ich den Zeilenabstand in Formeln vergrößern?
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Moin,
> Finden Sie die reellen Lösungen von [mm]y'=\pmat{1&-1\\3&1}y.[/mm]
> Hallo,
>
> ich bezeichne die Matrix mit A und will die Aufgabe
> mithilfe der Spektralformel lösen. Es geht also darum, die
> Fundamentalmatrix [mm]e^{xA}[/mm] zu berechnen. Dazu werden
> zunächst die Eigenwerte von A benötigt, sie sind
> [mm]\lambda_1=1+\sqrt{3}i[/mm] und [mm]\lambda_2=1-\sqrt{3}i.[/mm]
>
> Ansatz:
> [mm]f(A)=f(\lambda_1)*z_1+f(\lambda_2)*z_2.[/mm]
> Dabei sind [mm]z_1,z_2[/mm] unabhängig von f zu bestimmen. Ich
> setze also Polynome [mm]p_1,p_2[/mm] für f ein:
>
> [mm]p_1(\lambda)=z-\lambda_1 \Rightarrow p_1(A)=A-\lambda_1*I\stackrel{!}{=}p_1(\lambda_1)*z_1+p_1(\lambda_2)*z_2=0+(\lambda_2-\lambda_1)*z_2=-2\sqrt{3}i*z_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z_2=\frac{\lambda_1*I-A}{2\sqrt{3}i}[/mm]
>
>
> [mm]p_2(\lambda)=z-\lambda_2 \Rightarrow p_2(A)=A-\lambda_2*I\stackrel{!}{=}p_2(\lambda_1)*z_1+p_2(\lambda_2)*z_2=(\lambda_1-\lambda_2)*z_1+0=2\sqrt{3}i*z_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z_1=\frac{A-\lambda_2*I}{2\sqrt{3}i}.[/mm]
>
> Jetzt Einsetzen in die Spektralformel und nach Potenzen von
> A sortieren:
>
> [mm]e^{xA}=e^{\lambda_1 x}\frac{A-\lambda_2*I}{2\sqrt{3}i}+e^{\lambda_2 x}\frac{\lambda_1*I-A}{2\sqrt{3}i}=\frac{A}{2\sqrt{3}i}\left(e^{\lambda_1 x}-e^{\lambda_2 x}\right)+\frac{I}{2\sqrt{3}i}\left(\lambda_1 e^{\lambda_2 x}-\lambda_2 e^{\lambda_1 x}\right)[/mm]
>
> Ich setze erst einmal [mm]u:=\sqrt{3}i.[/mm] Dann folgt weiter [mm](e^1[/mm] ausklammern):
Hier solltest du besser [mm] e^x [/mm] ausklammern.
>
> [mm]\ldots=e^1*\left(\frac{A}{2\sqrt{3}i}\left(e^{u x}-e^{-u x}\right)+\frac{I}{2\sqrt{3}i}\left((1+u) e^{-u x}-(1-u) e^{u x}\right)\right)=e*\left(\frac{A}{\sqrt{3}}\frac{e^{u x}-e^{-u x}}{2i}+I\frac{e^{-u x}+e^{u x}}{2}+\frac{I}{\sqrt{3}}\frac{e^{-u x}-e^{u x}}{2i}\right)[/mm]
>
> [mm]\ldots=e\left(\frac{A}{\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}x)+I\cos(\sqrt{3}x)-\frac{I}{\sqrt{3}}\sin(\sqrt{3}x)\right)=:\Phi.[/mm]
>
> Damit ist die allgemeine Lösung [mm]\Phi*c, c\in\IR^2.[/mm]
>
> Ich bin mir zwar ziemlich sicher, bitte aber dennoch um
> Korrektur. Danke!
>
> Gruß, pyw
>
> P.S: Eine Frage an die Latex-Experten:
> Wie kann ich den Zeilenabstand in Formeln vergrößern?
Das lasse ich mal offen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:20 Sa 09.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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