lineares Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für welche [mm] \alpha \varepsilon\IR [/mm] hat das lineare Gleichungssystem
[mm] \alpha x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 1
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = -2
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] \alpha x_{2} [/mm] + [mm] \alpha x_{3} [/mm] = 1
in [mm] x_{1},x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] mit Koeffizienten in [mm] \IR [/mm] keine, genau eine und viele Lösungen? |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hilfe!Komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Habe diese Aufgabe jetzt mit der Stufenform versucht aber nie etwas gescheites rausgebracht. Kann mir vielleicht jemand einen Tip gegen, wie ich diese Aufgabe anfangen soll?Danke
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
die Idee, das in (Zeilen-)Stufenform zu bringen, ist schon ganz richtig.
Die Rechnungen sind aber etwas "frickelig"
Ich schreib's der besseren Übersicht halber mal in Matrixschreibweise auf:
[mm] $\alpha$ [/mm] nenne ich a, das ist besser zu schreiben 
[mm] $\pmat{ a & 1&1 &|&1\\ 3 & 1&5&|&-2\\1&a&a &|&1}$
[/mm]
Zuerst tauschen wir mal die 1. und 2.Zeile, also
[mm] $\pmat{ 3 & 1&5&|&-2\\a & 1&1 &|&1\\ 1&a&a &|&1}$
[/mm]
Nun die 1.Zeile zum -3fachen der 3.Zeile addieren und das a-fache der 1.Zeile zum -3fachen der 2.Zeile addieren. Das gibt:
[mm] $\pmat{ 3 & 1&5&|&-2\\0 & a-3&5a-3 &|&-2a-3\\ 0&-3a+1&-3a+5 &|&-5}$
[/mm]
Jetzt das (3a-1)-fache der 2.Zeile zum (a-3)-fachen der 3.Zeile addieren, das gibt:
[mm] $\pmat{ 3 & 1&5&|&-2\\0 & a-3&5a-3 &|&-2a-3\\ 0&0&12(a^2-1) &|&-6(a-1)(a+3)}$
[/mm]
3. Zeile mal [mm] \frac{1}{12} [/mm] gibt schließlich
[mm] $\pmat{ 3 & 1&5&|&-2\\0 & a-3&5a-3 &|&-2a-3\\ 0&0&(a-1)(a+1) &|&-\frac{1}{2}(a-1)(a+3)}$
[/mm]
So und hier kannst du deine Fallunterscheidungen bzgl a machen.
1.Fall: [mm] $a\neq \pm1$
[/mm]
2.Fall: $a=1$
3.Fall: $a=-1$
Die Rechnungen sind ohne Gewähr
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo ja danke, so weit habe ich es auch noch geschafft. aber von so einer fallunterscheidung habe ich ehrlich gesagt noch nix gehört und sowas haben wir in der vorlesung auch gar nicht besproche.
wie soll denn das dann aussehen?kannst du mir da vielleicht nochmal helfen?
danke
|
|
|
| |
|
> Hallo ja danke, so weit habe ich es auch noch geschafft.
> aber von so einer fallunterscheidung habe ich ehrlich
> gesagt noch nix gehört und sowas haben wir in der vorlesung
> auch gar nicht besproche.
> wie soll denn das dann aussehen?
Hallo,
Du mußt jetzt das GS für diese drei Fälle getrennt untersuchen.
Woher kommt die Fallunterscheidung?
Wenn [mm] a=\pm [/mm] 1 ist, hat die Koeffizientenmatrix einen Rang [mm] \le [/mm] 2, und Du mußt nun prüfen, wie es mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix bestellt ist - das hat ja Auswirkungen auf die Lösbarkeit der Gleichung.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
