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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Saschman |
| Aufgabe | Für welchen Wert von a hat folgendes lin. Gleichungssystem nichttriviale Lösungen (heißt: von null versch. Lösungen für x,y,z) und wie lauten diese Lösungen
x + y - 4z = 0
-2x + y + 2z = 0
a*x - 2y - 2z = 0 |
Hallo,
ich weiss nicht so recht ob das stimmt was ich gemacht habe..deshalb wäre eine Kontrolle ganz lieb.
ich habe erstmal folgendes aufgestellt:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & -4 \\ -2 & 1 & 2 \\ a & -2 & -2 }
[/mm]
nun habe ich nach der 3. Spalte entwickelt.. was dann so aussah
[mm] \vmat{ 1-2a & 5 & 0 \\ -2+a & -1 & 0 \\ a & -2 & -2 }
[/mm]
hieraus ergab sich
-2 * [mm] \vmat{ 1-2a & 5 \\ -2+a & -1 }
[/mm]
ausgerechnet ergibt das dann a=3
da ich nun den Wert von a hatte konnte ich folgendes aufstellen:
[mm] \vmat{ 1 & 1 & -4 & | 0 \\ -2 & 1 & 2 & | 0 \\ 3 & -2 & -2 & | 0 }
[/mm]
nach mehrfachem Umformen war ich hier angekommen:
[mm] \vmat{ 1 & -1 & 0 & | 0 \\ 0 & 1 & 2 & | 0 }
[/mm]
dann habe ich mit y = t folgende Gleichungen aufgestellt:
x-t = 0 daraus ergibt sich x= t
t+2z=0 daraus ergibt sich z = - 0,5 t
also
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{t \\ t \\ -0,5t} [/mm] = 0,5t * [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ -1} [/mm] = r [mm] *\vektor{2 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Kann man dies als Antwort für die Fragestellung betrachten?
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Mi 30.01.2008 | | Autor: | canuma |
Hi,
> Für welchen Wert von a hat folgendes lin. Gleichungssystem
> nichttriviale Lösungen (heißt: von null versch. Lösungen
> für x,y,z) und wie lauten diese Lösungen
>
> x + y - 4z = 0
> -2x + y + 2z = 0
> a*x - 2y - 2z = 0
> ausgerechnet ergibt das dann a=3
stimmt
> da ich nun den Wert von a hatte konnte ich folgendes
> aufstellen:
>
> [mm]\vmat{ 1 & 1 & -4 & | 0 \\ -2 & 1 & 2 & | 0 \\ 3 & -2 & -2 & | 0 }[/mm]
>
> nach mehrfachem Umformen war ich hier angekommen:
>
> [mm]\vmat{ 1 & -1 & 0 & | 0 \\ 0 & 1 & 2 & | 0 }[/mm]
ich denke bei der 2 ist ein Vorzeichenfehler.
> dann habe ich mit y = t folgende Gleichungen aufgestellt:
>
> x-t = 0 daraus ergibt sich x= t
>
> t+2z=0 daraus ergibt sich z = - 0,5 t
> also
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]\vektor{t \\ t \\ -0,5t}[/mm] = 0,5t * [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ -1}[/mm] = r [mm]*\vektor{2 \\ 2 \\ -1}[/mm]
>
ich komm da auf
[mm]r*\vektor{2 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> DANKE
lg
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