linearität von abb m. folgen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 03:56 Mi 14.06.2006 | | Autor: | toggit |
| Aufgabe | sei [mm] l_{e} [/mm] der Raum der abbrechenden reelwertigen Folgen, d.h. [mm] l_{e}={(a_{n})_{n \in \IN} | \existsn_{0} \in \IN \forall n \in \IN, n \ge n_{0} :a_{n} =0 }.
[/mm]
Gegeben ist die Abbildung S : [mm] l_{e} \to \IR [/mm] durch:
S(a):= [mm] \summe_{k=0}^{a_{max}} a_{k} [/mm] für [mm] a=(a_{n})_{n \in \'IN} \in l_{e}
[/mm]
Dabei ist [mm] a_{max}:=max [/mm] {n [mm] \in \IN |a_{n} \not= [/mm] 0}. Zeige, dass S linear ist und finde eine Basis von Ker(S) |
erstens hallo
naja ich wies überhaupt nicht wie ich anfangen soll mit diesem abbildung- ich verstehe sogar nicht was für ne abbildung soll es sein,
ich werde für jede hilfe sehr dankbar sein
mfg tom
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 08:43 Mi 14.06.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo und guten Morgen,
> sei [mm]l_{e}[/mm] der Raum der abbrechenden reelwertigen Folgen,
> d.h. [mm]l_{e}={(a_{n})_{n \in \IN} | \existsn_{0} \in \IN \forall n \in \IN, n \ge n_{0} :a_{n} =0 }.[/mm]
>
> Gegeben ist die Abbildung S : [mm]l_{e} \to \IR[/mm] durch:
> S(a):= [mm]\summe_{k=0}^{a_{max}} a_{k}[/mm] für [mm]a=(a_{n})_{n \in \'IN} \in l_{e}[/mm]
>
> Dabei ist [mm] a_{max}:=max\{n \in \IN |a_n \not=0\}. [/mm] Zeige,
> dass S linear ist und finde eine Basis von Ker(S)
Es ist ja [mm] l_e [/mm] ein [mm] \IR-Vektorraum, [/mm] und zu [mm] a=(a_n), b=(b_n) \in l_e [/mm] und [mm] x,y\in\IR
[/mm]
ist ja
[mm] S(x\cdot a+y\cdot b)=S((x\cdot a_n+y\cdot b_n))=
[/mm]
= [mm] \sum_{n=0}^{\max\{a_{max},b_{max}\}} (x\cdot a_n+y\cdot b_n),
[/mm]
von hier aus solltest Du alleine weiterrechnen können.
Zum Kern:
Behauptung: Die Menge aller Folgen [mm] a\ij l_e, [/mm] für die es [mm] n_1
bildet eine Basis von Kern(S).
Beweis:
(i) All diese Folgen liegen im Kern.
(ii) Sie sind linear unabhängig. Beweis: Annahme: [mm] a^1,\ldots a^r [/mm] seien solche Folgen im Kern, und es gäbe [mm] x_1,\ldots [/mm] , [mm] x_r\in\IR, [/mm] nicht alle
gleich 0, so dass
[mm] \sum x_i\cdot a^i= [/mm] die Nullfolge.
Es seien [mm] n_1^i
OE sei [mm] n_1^1=\min\{n_1^j|1\leq j\leq r\}.
[/mm]
Hier fehlt noch was. Ich meld mich ggf. später noch - kannst es ja auch mal probieren.
(iii) Sie erzeugen den Kern. Beweis: Sei [mm] (a_n)\in [/mm] Kern(S). OE seien [mm] a_1,\ldots [/mm] , [mm] a_m\neq [/mm] 0, [mm] a_n=0 [/mm] für n>m (sonst allgemein
[mm] a_{i_1},\ldots \neq [/mm] 0, wir betrachten nur Indizes von Einträgen [mm] \neq [/mm] 0). Dann ist [mm] (a_n)=a_1\cdot (1,-1,0,\ldots)+(0,a_2+a_1,a_3,\ldots)
[/mm]
und wir können induktiv zeigen, dass sich [mm] (a_n) [/mm] als LinKomb der obigen Folgen darstellen lässt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:33 Mi 14.06.2006 | | Autor: | baskolii |
> Zum Kern:
> Behauptung: Die Menge aller Folgen [mm]a\ij l_e,[/mm] für die es
> [mm]n_1
>
> bildet eine Basis von Kern(S).
>
Das stimmt leider nicht. Denn dann würden die Folgen [mm] a_n, b_n, c_n [/mm] mit [mm] a_1=1, a_3=-1, a_i=0, i\in\IN \backslash\{1,3\}, b_2=1,b_3=-1,b_i=0, i\in\IN \backslash\{2,3\}, c_1=1,c_2=-1,c_i=0,i\in\IN^{\ge3} [/mm] alle in der Basis liegen. Diese Folgen sind aber linear abhängig, da [mm] a_n=b_n+c_n.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:50 Fr 16.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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