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Hallo. Ich habe mal eine wichtige Frage.
Und zwar geht es um den links und rechtsseitigen Grenzwert.
Ich habe dazu nun folgendes erfahren:
Angenommen ich möchte nun [mm] f(x)=2x^2, [/mm] für x=1 auf Stetigkeit überprüfen. Nun wurde mir folgendes Geraten:
1. x geht immer gegen die vorgegebene Stelle. Das heißt in diesem Fall an der Stelle x=1 und zwar von links und rechts, und am Ende direkt drauf.
2. h geht immer gegen Null.
Sind das jetzt zwei verschiedene Methoden um die Stetigkewit einer Funktion zu überprüfen??? Soll heißen [mm] \limes_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\limes_{h\rightarrow 0}f(x) [/mm] ??? Und heißt das somit, dass ich mich entweder für die eine oder andere Methode entscheiden kann???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Do 28.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Domenigge,
> Hallo. Ich habe mal eine wichtige Frage.
>
> Und zwar geht es um den links und rechtsseitigen
> Grenzwert.
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> Ich habe dazu nun folgendes erfahren:
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> Angenommen ich möchte nun [mm]f(x)=2x^2,[/mm] für x=1 auf Stetigkeit
> überprüfen. Nun wurde mir folgendes Geraten:
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> 1. x geht immer gegen die vorgegebene Stelle. Das heißt in
> diesem Fall an der Stelle x=1 und zwar von links und
> rechts, und am Ende direkt drauf.
>
> 2. h geht immer gegen Null.
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> Sind das jetzt zwei verschiedene Methoden um die
> Stetigkewit einer Funktion zu überprüfen??? Soll heißen
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1^-}f(x)=\limes_{h\rightarrow\0}f(x)???[/mm]
> Und heißt das somit, dass ich mich entweder für die eine
> oder andere Methode entscheiden kann???
das ist ein bisschen wirr, was Du da schreibst. Also wenn Du z.B. Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] betrachtest (der Zielbereich kann auch ein anderer sein, wenn Du magst, z.B. irgendein metrischer Raum) und "eigentlich" als Definitionsbereich [mm] $\IR$ [/mm] als metrischen Raum [mm] $(\IR, d_{|.|})$ [/mm] betrachtest, so gilt folgendes:
$f$ ist genau dann stetig in [mm] $x_0 \in \IR$, [/mm] wenn für jede Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [mm] $x_n \in \IR$, $x_n \not=x_0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt, dass [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Hier kann man genausogut schreiben:
$f$ ist genau dann stetig in [mm] $x_0$, [/mm] wenn
[mm] $\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$
[/mm]
(Selbst wenn ihr diese Notation nicht so definiert habt, werdet ihr diese Notation mit dem Limes in äquivalenter Weise definiert haben.)
(Wobei in der Notation [mm] $\lim_{x \to x_0}$ [/mm] dann $x [mm] \not=x_0$ [/mm] beinhaltet werden sollte, andernfalls muss man halt z.B. [mm] $\lim_{x \to x_0 \mbox{ und } x \not=x_0}$ [/mm] schreiben.)
Und dann kann man sagen:
$f$ ist genau dann stetig in [mm] $x_0$, [/mm] wenn eine der drei folgenden Aussagen gilt:
1.) [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$ [/mm]
2.) [mm] $\lim_{h \to 0}f(x_0+h)=f(x_0)$
[/mm]
3.) [mm] $f(x_0^+)=f(x_0^-)=f(x_0)$ [/mm] (wobei [mm] $f(x_0^+):=\lim_{h > 0 \mbox{ und } h \to 0}f(x_0+h)$ [/mm] und [mm] f(x_0^-):=\lim_{h > 0 \mbox{ und } h \to 0}f(x_0-h))
[/mm]
Denn hierbei sind 1.), 2.) und 3.) äquivalent, d.h. es wäre für Dich zum Beispiel sinnvoll, zu beweisen, dass für eine jede Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] gilt, wenn [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] fest:
1.) (d.h. $f$ ist stetig an [mm] $x_0$) $\Rightarrow$ [/mm] 2.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 3.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 1.)
(Anstatt die Äquivalenz der Aussagen einzeln zu beweisen, was hier auch nicht sonderlich schwer ist, schlage ich halt einen Ringschluss vor, da spart man sich ein "wenig" Arbeit.)
Und klar, wenn Du nun bei $f: [mm] \IR \to \IR$, $f(x)=2x^2$ [/mm] untersuchen willst, ob $f$ stetig an der Stelle $x=1$ ist, dann kannst Du Dir aussuchen, ob Du das mit der Definition (also 1.)) machst, oder mit 2.), also einer einfachen "Umschreibung" der Definition (denn mehr ist das eigentlich nicht, wenn man 1.) [mm] $\gdw$ [/mm] 2.) beweist, erkennt man das) oder aber mit Methode 3), indem man halt prüft, ob der (linksseitige) Grenzwert $f(1^-)$ existiert, ob der (rechtsseitige) Grenzwert $f(1^+)$ existiert, und ob diese beiden Grenzwerte beide mit $f(1)$ übereinstimmen.
Übrigens:
Falls ihr definiert habt:
Wir sagen [mm] $g=\lim_{x \to x_0}f(x)$, [/mm] falls für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} [/mm] > 0$ existiert, so dass für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] und $x [mm] \not=x_0$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f(x)-g|<\varepsilon$,
[/mm]
so sei angemerkt, dass diese Definition äquivalent ist zu:
Für JEDE Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] - mit [mm] $x_n \in \IR$, $x_n \not=x_0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] - gilt, dass [mm] $f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Wenn Du magst, kannst Du auch diese Äquivalenz nochmal beweisen.
Gruß,
Marcel
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Alles klar. Dankeschön für die schnelle Antwort. 
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