lipschitz x^{2/3} lokal global < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:27 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 4.
a) Ist die Funktion [mm] $f:\IR \rightarrow [0,\infty[, f(x)=x^{2/3}$ [/mm] lokal lipschitzstetig im Punkt [mm] $x_{0}=0$ [/mm] ?
b) Ist die Funktion aus a) global Lipschitzstetig auf [mm] $[1,\infty[$ [/mm] ? |
Hallo,
a)
[mm] $f(x)=x^{2/3}$ [/mm] ist nicht lokal lipschitzstetig in [mm] $x_{0}$ [/mm] da in jeder offenen Umgebung von 0 gibt es für jedes L>0 ein [mm] $x_{i}$ [/mm] mit [mm] $1\ge L^{3/2}|x_{i}| \Rightarrow |f(x_{i})-f(0)| [/mm] = [mm] |x_{i}|^{3/2} \ge L|x_{i}|$
[/mm]
b) Nach dem Mittelwertsatz von Lagrange existieren [mm] $\xi,x,y \in \IR[1,\infty[: [/mm]
$|f(x)-f(y)| = [mm] f'(\xi) [/mm] |x-y| [mm] \le |f'(\xi)||x-y| \le [/mm] M |x-y|$
Da die Ableitung beschränkt ist, ist [mm] $x^{2/3}$ [/mm] auf [mm] $[1,\infty[$ [/mm] global lipschitzstetig.
Ist das so in Ordnung?
Bin für jegliche Hilfestellung sehr dankbar!!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 So 02.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) hast du dich mit dem exponenten vertan, und ich denke es gehört 1 schritt wenigstens mehr dazu.
b) du solltest M für [mm] x\ge1 [/mm] angeben, nur sagen ist beschränkt, ohne es zu zeigen reicht nicht
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
a) Angenommen $f(x)= [mm] x^{2/3}$ [/mm] wäre in [mm] $x_{0}=0$ [/mm] lokal lipschitzstetig, dann müsste für jede offene Umgebung U von 0 für jedes $L>0$ gelten:
[mm] $|x^{2/3}-0| \le [/mm] L |x-0| [mm] \gdw |\frac{x^{2/3}}{x}| \le [/mm] L [mm] \gdw [/mm] 1 [mm] \le [/mm] L [mm] |x^{1/3}| [/mm] \ \ [mm] \forall [/mm] L>0, [mm] x_{ \in U}>0$
[/mm]
für x gegen 0 erhält man dann den Widerspruch [mm] $1\le [/mm] 0$, also ist [mm] $f(x)=x^{2/3}$ [/mm] in [mm] $x_{0}=0$ [/mm] nicht lokal lipschitzstetig.
b)
Nach dem Mittelwertsatz von Lagrange existieren [mm] $\xi,x,y \in \IR[1,\infty[: [/mm] $
$f(x)= [mm] x^{2/3}$
[/mm]
$ |f(x)-f(y)| = [mm] f'(\xi) [/mm] |x-y| [mm] \le |f'(\xi)||x-y| \le [/mm] M |x-y| $
mit $f'(x):= [mm] \frac{2}{3|x^{1/3}|} \Rightarrow M=\frac{2}{3} [/mm] \ [mm] \forall x\ge [/mm] 1$
So ok??
> Gruss leduart
Vielen Dank!!!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo leduart
> daumenhoch
Danke!!
Gruss
kushkush
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