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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Do 18.03.2010 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | Leiten Sie zweimal ab.
a) f(x) = ln(2x)
b) f(x) = [mm] ln(x*e^x)+e^{x^2} [/mm] |
Hallo :3
Ich bekomme die "normalen" Ableitungen ohne ln sehr gut hin, aber bei dem ln verzweifel ich leicht.
Wie geht man hier vor?
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Hallo low_head,
> Leiten Sie zweimal ab.
> a) f(x) = ln(2x)
> b) f(x) = [mm]ln(x*e^x)+e^{x^2}[/mm]
> Hallo :3
>
> Ich bekomme die "normalen" Ableitungen ohne ln sehr gut
> hin, aber bei dem ln verzweifel ich leicht.
>
> Wie geht man hier vor?
Nicht verzagen und entweder die Kettenregel bemühen oder vor dem Ableiten an die stadtbekannten Logarithmusgesetze denken und vereinfachen:
Ich mach's mal für die erste:
1. Weg mit Kettenregel:
[mm] $f(x)=\ln(2\cdot{}x)\Rightarrow f'(x)=\underbrace{\frac{1}{2\cdot{}x}}_{\text{äußere Ableitung}} [/mm] \ [mm] \cdot{} [/mm] \ [mm] \underbrace{2}_{\text{innere Ableitung}} \, =\frac{1}{x}$
[/mm]
2. Weg: benutze [mm] $\ln(a\cdot{}b)=\ln(a)+\ln(b)$
[/mm]
[mm] $f(x)=\ln(2\cdot{}x)=\ln(2)+\ln(x)$
[/mm]
Nun ist [mm] $\ln(2)$ [/mm] irgendeine reelle Zahl, also eine Konstante, die beim Ableiten zu 0 wird, also
[mm] $f'(x)=\left[\ln(2)\right]' [/mm] \ + \ [mm] \left[\ln(x)\right]'=0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}$
[/mm]
Ganz ähnlich bei der anderen, versuch's mal ...
Für die (Teil-)Ableitung von [mm] $e^{x^2}$ [/mm] brauchst du aber auf jeden Fall die Kettenregel.
Eine Merkregel (das ist die Kettenregel) für derartige Funktionen:
[mm] $f(x)=e^{g(x)}\Rightarrow f'(x)=e^{g(x)}\cdot{}g'(x)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Do 18.03.2010 | | Autor: | low_head |
also ich habs mal versucht:
a) f''(x) = [mm] -1*x^{-1-1} [/mm] = [mm] -x^{-2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x^2}
[/mm]
b) f'(x) = [mm] \bruch{1}{x*e^x}+1*e^x+2x*e^{x^2}
[/mm]
bei a bin ich mir recht sicher... bei b dagegen nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Do 18.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a ist richtig,
bei b hast du einen Fehler:
f'(x) = $ [mm] \bruch{1}{x\cdot{}e^x}+1\cdot{}e^x+2x\cdot{}e^{x^2} [/mm] $
[mm] e^{x^2} [/mm] ist richtig abgeleitet.
beim ersten Term hast du für die innere Ableitung die Produktregel also [mm] (ln(x*e^x))=\bruch{1}{x\cdot{}e^x}*(xe^x)' [/mm] die Klammer noch ableiten.
einfacher wär er Rat aus dem vorigen post gewesen:
[mm] ln(x*e^x)=lnx+lne^x=lnx+x [/mm] und dann ableiten.
Gruss leduart
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