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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Do 20.05.2010 | | Autor: | Kubs |
Ich hab hier ein "paar" ln-Funktionen abgelitten und wollte gern wissen ob die so richtig sind, da ich mir bei manchen ziemlich unsicher bin
f (x)= ln(5x)
f' (x)= [mm] \bruch{1}{5x} \* [/mm] 5 = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
f' (x)= [mm] x^{-1}
[/mm]
f''(x)= [mm] -x^{-2}
[/mm]
f(x)=ln(x²)
f'(x)= [mm] \bruch{1}{x^{2}} \* [/mm] 2x = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] = [mm] x^{-2}
[/mm]
f''(x) = [mm] -2x^{-3}
[/mm]
f(x)= x+ln(2x)
f'(x)= 1+ [mm] x^{-1}
[/mm]
f''(x)= [mm] -x^{-2}
[/mm]
f(x)= x² [mm] \* [/mm] ln(x)
f'(x)= 2x * ln(x) + x² [mm] \* \bruch{1}{x}
[/mm]
f'(x)=2x [mm] \* [/mm] ln(x) + x
f''(x)=2x [mm] \* \bruch{1}{x} [/mm] + 2 [mm] \*ln(x) [/mm] +1
f''(x)=2+2ln(x)+1
f(x)= [mm] \bruch{ln(x)}{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1/x \*x-ln(x)\*1}{x²}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1-ln(x)}{x²}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-1/x \*x^{2}-1-ln(x)*2x}{x^{4}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-1-2x-2x\*ln(x)}{x^{3}}
[/mm]
f(x)= [mm] ln(\wurzel[]{x})
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{1}{\wurzel[]{x}} \* \bruch{1}{2}x^{\bruch{-1}{2}}
[/mm]
[mm] f(x)=ln(2e^{2x})
[/mm]
f(x)=2x
f'(x)=2
f''(x)=
f(x)=(ln(x))³
f'(x)=3(ln(x))² + [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
f''(x)=6ln(x) [mm] \* \bruch{1}{x}+3(ln(x))^{2} \* -x^{-2}
[/mm]
[mm] f''(x)=3ln(x)(2\* \bruch{1}{x}+ln(x)\*x^{-2})
[/mm]
f(x)=ln(cos(x))
[mm] f'(x)=\bruch{1}{cos(x)}\* [/mm] -sin(x)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Do 20.05.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
> Ich hab hier ein "paar" ln-Funktionen abgelitten und wollte
> gern wissen ob die so richtig sind, da ich mir bei manchen
> ziemlich unsicher bin
>
>
> f (x)= ln(5x)
> f' (x)= [mm]\bruch{1}{5x} \*[/mm] 5 = [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> f' (x)= [mm]x^{-1}[/mm]
> f''(x)= [mm]-x^{-2}[/mm]
richtig.
> f(x)=ln(x²)
> f'(x)= [mm]\bruch{1}{x^{2}} \*[/mm] 2x = [mm]\bruch{2}{x}[/mm] = [mm]x^{-2}[/mm]
> f''(x) = [mm]-2x^{-3}[/mm]
ln(x²)=2ln(x), (2lnx)'=2/x, [mm] (2/x)'=-2/x^2
[/mm]
> f(x)= x+ln(2x)
> f'(x)= 1+ [mm]x^{-1}[/mm]
> f''(x)= [mm]-x^{-2}[/mm]
richtig.
> f(x)= x² [mm]\*[/mm] ln(x)
> f'(x)= 2x * ln(x) + x² [mm]\* \bruch{1}{x}[/mm]
> f'(x)=2x [mm]\*[/mm] ln(x)
> + x
> f''(x)=2x [mm]\* \bruch{1}{x}[/mm] + 2 [mm]\*ln(x)[/mm] +1
> f''(x)=2+2ln(x)+1
richtig.
> f(x)= [mm]\bruch{ln(x)}{x}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{1/x \*x-ln(x)\*1}{x²}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1-ln(x)}{x²}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{-1/x \*x^{2}-1-ln(x)*2x}{x^{4}}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{-1-2x-2x\*ln(x)}{x^{3}}[/mm]
die erste ist richtig, die zweite sollte so aussehen: [mm] 2log(x)-3/x^3
[/mm]
> f(x)= [mm]ln(\wurzel[]{x})[/mm]
> f'(x)= [mm]\bruch{1}{\wurzel[]{x}} \* \bruch{1}{2}x^{\bruch{-1}{2}}[/mm]
ja kannst du aber noch zusammenfassen zu 1/2x
> [mm]f(x)=ln(2e^{2x})[/mm]
> f(x)=2x
> f'(x)=2
> f''(x)=
wieder vereinfachen: [mm] ln(2e^{2x})= [/mm] 2x*ln(2e) und nun ableiten...
> f(x)=(ln(x))³
> f'(x)=3(ln(x))² + [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> f''(x)=6ln(x) [mm]\* \bruch{1}{x}+3(ln(x))^{2} \* -x^{-2}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=3ln(x)(2\* \bruch{1}{x}+ln(x)\*x^{-2})[/mm]
Kettenregel hier: Innere Ableitung mal äußere Ableitung...
> f(x)=ln(cos(x))
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{cos(x)}\*[/mm] -sin(x)
>
Ergebnis -tan
Am besten demnächst einfach mal selbst mit einem online-Rechner kontrollieren und wenn du was falsches hast und nicht auf die richtige Lösung kommst, dann natürlich deine Frage stellen.
Gruß Fawkes
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