ln Funktion die Dritte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 So 14.03.2004 | | Autor: | Silence |
eyo, ich bin´s mal wieder ;)
Da es nächste Woche DO soweit ist, also Mathearbeit und wir bis Mittwoch noch ein Arbeitsblatt bearbeiten sollen hab ich gehofft dass jemand mir wieder hilfreich zur Seiten stehen könnte. Auch weil mir 2 Stunden in diesem Forum mehr bringen als 6 Stunden Mathe in der Schule.
Also folgende Aufgaben haben wir bekommen:
Gegeben ist die Funktion ft, durch
ft(X)=x²*ln(x/t)
Kt sei der Graph von ft.
1. Zeigen Sie: ft"(x)=2*ln(x/t)+3
Meine Lösung:
ft´(x)=2x*ln(x/t)+x²*1/x
=2x*ln(x/t)+x
=x*(2*ln(x/t)+1)
ft"(x)=1*(2*ln(x/t)+1)+x*2*1/x
=2*ln(x/t)+1+2
=2*ln(x/t)+3
ft3(x)=2*1/x
=2/x
2.Geben sie den maximalen Definitionsbereich von ft an an.
Meine Lösung
t > 0,xER*+
Untersuchen sie Kt auf Achsenschnittpunkte, Extrem und Wendepunkte.
Meine Lösung: Nullstellen:
f(x)=0
=x²*(ln(x/t)
x1/2=+-0 (keine Elemente aus D) V ln(x/t)=0
V [mm] x/t=e^0
[/mm]
V x=t
Extrempunkte:
f`(x)=0
0=x*(2ln(x/t)+1)
x1=0 ( kein Element aus D) V (2ln(x/t)+1)=0 |:2
V (ln(x/t)+1)=0
V x=t*e^-1
ft"(t*e^-1)=(2*ln(t*e^-1/t)+3)
=2*-1+3
=1
= > 0
TP:ft(t*e^-1)=(t*ê^-1)²*ln(t*e^-1/t)
=(t*e^-1)²*ln e^-1
=(t*e^-1)²*-1
---> TP(t*e^-1)/-(t*e^-1)²
Wendepunkte:
f"(x)=0
0=2*ln(x/t)+3 | :2
0=ln(x/t)+3
ln(x/t)=-3
x=t*e^-3
ft3(t*e^-3)=2/t*e^-3 --> ungleich 0
ft(t*e^-3)=(t*e^-3)²*ln(t*e^-3/t)
=(t*e^-3)²*-3
--> WP (t*e^-3)/(-3(t*e^-3)²)
Die Funktion ft ist für x=0 nicht defeniert. Ermitteln sie den Grenzwert lim(x-->0)ft(x).
Meine Lösung: ( weiiss nicht genau ob das die richtige formel ist:)
f´(x)/g`(x)= (x²/1)/ln(x/t)
=(ln(x/t))/1/x²
[mm] =(1/x)/(-1/x^4)
[/mm]
=(1)/(-1/x³)
=1*-(x³/1)=-(x³/1)
3.Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet für 0<u<_ 4 K4 im Punkt P und die x-Achse im Punkt Q. Berechnen Sie denjenigen Wert von u, für den der Flächeninhalt des druch den Koordinatenursprung O,P und Q gegebenen Dreiecks maximal wird. (Vergessen sie dabei die Randbetrachtung nicht!).
Berechnen sie den maximalen Flächeninhalt
Meine Lösung:
A(u)=1/2u*u²(ln(u/t))
A(u)=1/2u³*(ln(u/t))
A`(u)=3/2u²*(ln(u/t)+1/2u³+1/u
=3/2u²*(ln(u/t)+1/2u²
=1/2u²(3*ln(u/t)+1)
1/2u²=0 V (3*ln(u/t)+1)=0 | :3 / :1/2
u²=0 V (ln(u/t)+1)=0
u1/2=+-0 (Keine Elemente aus D)V u=t*e^-1
Randbetrachtung:
lim A(u)=0
u-->+0
lim A(u)=0
u-->-0
4. Berechnen sie die Gleichung der Ortskurve, auf der alle TP von Kt liegen.
Meine Lösung:
---> TP(t*e^-1)/-(t*e^-1)²
x=t*e^-1
y=-1/2*(t*e^-1)
-(t*e^-1)²=-1/2*(t*e^-1)
umformen von x=t*e^-1
t=x/e^-1 -> -1/2*(t*e^-1)=x*(-1/2*(t*e^-1))/(-1/2t)*(e^-1)
y=-1/2*(t*e^-1) y=x*(-1/2*(t*e^-1))/(-1/2t)*(e^-1)=Ortskurve
5. Bestätigen sie durch Differentation :
[mm] \integral_a^b{x²*ln(x/4) dx} [/mm] = [1/3x³*ln(x/4)-1/9x³]
Berechnen Sie den Inhalt der von K4 und der X-achse eingeschlossender Fläche
Meine Lösung:
=x²*ln(x/4)*+1/3³*1/x-1/3x²
=x²*ln(x/4)+1/3²-1/3x²
=x²*ln(x/4)=f(x)
Und beim Flächeninhalt bin ich noch am überlegen, aufjedenfall irgendwas integrieren ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 So 14.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Silence!
> eyo, ich bin´s mal wieder ;)
Schön, das freut uns! 
> Da es nächste Woche DO soweit ist, also Mathearbeit und
> wir bis Mittwoch noch ein Arbeitsblatt bearbeiten sollen
> hab ich gehofft dass jemand mir wieder hilfreich zur Seiten
> stehen könnte.
Kein Thema.
> Auch weil mir 2 Stunden in diesem Forum mehr
> bringen als 6 Stunden Mathe in der Schule.
Das ist klar und liegt nicht unbedingt an deinem Unterricht. In einem Forum (oder privater Einzelnachhilfe) kann man halt viel besser auf individuelle Probleme eingehen.
1. Zeigen Sie: ft"(x)=2*ln(x/t)+3
> Meine Lösung:
> ft´(x)=2x*ln(x/t)+x²*1/x
> =2x*ln(x/t)+x
> =x*(2*ln(x/t)+1)
> ft"(x)=1*(2*ln(x/t)+1)+x*2*1/x
> =2*ln(x/t)+1+2
> =2*ln(x/t)+3
> ft3(x)=2*1/x
> =2/x
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Perfekt!!
(Allerdings solltest du dir den mathematischen Textsatz angewöhnen, eine Hilfe findest du hier: https://matheraum.de/mm.)
2.Geben sie den maximalen Definitionsbereich von ft an an.
> Meine Lösung
> t > 0,xER*+
Meine Frage dazu: War die (Parameter-)Bedingung [mm]t>0[/mm] vorgegeben? Dann ist der Definitionsbereich [mm]D=\IR^{\*}_+[/mm] richtig!
Ansonsten wäre auch [mm]t<0[/mm], [mm]D=\IR^{\*}_-[/mm] denkbar.
Untersuchen sie Kt auf Achsenschnittpunkte, Extrem und
Wendepunkte.
> Meine Lösung: Nullstellen:
> f(x)=0
> =x²*(ln(x/t)
> x1/2=+-0 (keine Elemente aus D) V ln(x/t)=0
> V
> [mm] x/t=e^0
[/mm]
> V
> x=t
Perfekt!
> Extrempunkte:
> f`(x)=0
> 0=x*(2ln(x/t)+1)
> x1=0 ( kein Element aus D) V (2ln(x/t)+1)=0 |:2
> V
> (ln(x/t)+1)=0
Hier machst du einen Fehler!
Du argumentierst so:
Aus [mm]\red{2\ln(\frac{x}{t})+1=0}[/mm] folgt durch Division mit [mm]2[/mm] die Gleichung [mm]\red{\ln(\frac{x}{t})+1=0}[/mm].
Vielleicht siehst du ja selber deinen Fehler und verbesserst ihn im nächsten Beitrag. Denk daran: Wenn man eine Summe durch eine Zahl teilt, muss man alle Summanden durch diese Zahl teilen.
> V x=t*e^-1
>
> ft"(t*e^-1)=(2*ln(t*e^-1/t)+3)
> =2*-1+3
> =1
> = > 0
>
> TP:ft(t*e^-1)=(t*ê^-1)²*ln(t*e^-1/t)
> =(t*e^-1)²*ln e^-1
> =(t*e^-1)²*-1
> ---> TP(t*e^-1)/-(t*e^-1)²
>
Das ist dann natürlich alles falsch: Folgefehler.
> Wendepunkte:
> f"(x)=0
> 0=2*ln(x/t)+3 | :2
> 0=ln(x/t)+3
Hier der gleiche Fehler wie oben!
> ln(x/t)=-3
> x=t*e^-3
>
> ft3(t*e^-3)=2/t*e^-3 --> ungleich 0
> ft(t*e^-3)=(t*e^-3)²*ln(t*e^-3/t)
> =(t*e^-3)²*-3
> --> WP (t*e^-3)/(-3(t*e^-3)²)
falsch, klar: Folgefehler
Die Funktion ft ist für x=0 nicht definiert. Ermitteln sie den Grenzwert lim(x-->0)ft(x).
> Meine Lösung: ( weiiss nicht genau ob das die richtige
> formel ist:)
> f´(x)/g`(x)= (x²/1)/ln(x/t)
> =(ln(x/t))/1/x²
> [mm] =(1/x)/(-1/x^4)
[/mm]
> =(1)/(-1/x³)
> =1*-(x³/1)=-(x³/1)
Hier geht einiges durcheinander. 
Deine Ideen sind aber richtig!! Du musst den Satz von de l'Hospital anwenden. Angefangen hast du auch richtig.
Ich rechne es mal für dich zu Ende:
[mm]\lim_{x \downarrow 0} x^2 \cdot \ln(\frac{x}{t})[/mm]
[mm]=\lim_{x \downarrow 0} \frac{\ln(\frac{x}{t})}{\frac{1}{x^2}}[/mm]
(jetzt Zähler- und Nennerfunktion ableiten!)
[mm]=\lim_{x \downarrow 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-2}{x^3}}[/mm]
[mm]=\lim_{x \downarrow 0} \frac{-x^2}{2}[/mm]
[mm]=0[/mm].
Klar? Sonst frage bitte nach.
3.Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet für 0<u<_ 4 K4 im Punkt P und die x-Achse im Punkt Q. Berechnen Sie denjenigen Wert von u, für den der Flächeninhalt des druch den Koordinatenursprung O,P und Q gegebenen Dreiecks maximal wird. (Vergessen sie dabei die Randbetrachtung nicht!). Berechnen sie den maximalen Flächeninhalt
> Meine Lösung:
> A(u)=1/2u*u²(ln(u/t))
Richtiger Ansatz!!
> A(u)=1/2u³*(ln(u/t))
> A`(u)=3/2u²*(ln(u/t)+1/2u³+1/u
Ich denke, hier hast du dich beim letzten Zeichen nur verschrieben: "*" statt "+"
> =3/2u²*(ln(u/t)+1/2u²
> =1/2u²(3*ln(u/t)+1)
> 1/2u²=0
> V (3*ln(u/t)+1)=0 | :3 / :1/2
> u²=0
> V (ln(u/t)+1)=0
Nein! Das tut mir echt leid. Du rechnest so schön, machst alles richtig, zeigst, dass du den Stoff perfekt verstanden hast und dann wieder dieser (entschuldige bitte) saublöde Fehler.
Was passiert, wenn ich [mm]3\cdot ln(\frac{u}{t}+1[/mm] durch [mm]3[/mm] teile? Versuche es bitte noch einmal.
> u1/2=+-0 (Keine Elemente aus D)V
> u=t*e^-1
falsch: Folgefehler
> Randbetrachtung:
> lim A(u)=0
> u-->+0
> lim A(u)=0
> u-->-0
Ja, aber das müsstest du schon noch nachweisen. Mit de l'Hospital, wie oben in meiner Rechnung.
4. Berechnen sie die Gleichung der Ortskurve, auf der alle TP von Kt liegen.
> Meine Lösung:
>
> ---> TP(t*e^-1)/-(t*e^-1)²
> x=t*e^-1
> y=-1/2*(t*e^-1)
>
> -(t*e^-1)²=-1/2*(t*e^-1)
>
> umformen von x=t*e^-1
> t=x/e^-1 ->
> -1/2*(t*e^-1)=x*(-1/2*(t*e^-1))/(-1/2t)*(e^-1)
> y=-1/2*(t*e^-1)
> y=x*(-1/2*(t*e^-1))/(-1/2t)*(e^-1)=Ortskurve
Folgefehler von oben!
Der Ansatz ist aber richtig. Du hast das super verstanden!
5. Bestätigen sie durch Differentation : [mm] \integral_a^b{x²*ln(x/4) dx} [/mm] = [1/3x³*ln(x/4)-1/9x³] Berechnen Sie den Inhalt der von K4 und der X-achse eingeschlossender Fläche
> Meine Lösung:
> =x²*ln(x/4)*+1/3³*1/x-1/3x²
> =x²*ln(x/4)+1/3²-1/3x²
> =x²*ln(x/4)=f(x)
Hier sind einige Schreibfehler drin, aber ich denke du meinst das Richtige.
> Und beim Flächeninhalt bin ich noch am überlegen,
> aufjedenfall irgendwas integrieren ;)
Naja, integrieren brauchst du ja jetzt nicht mehr, da du die Stammfunktion ja jetzt kennst. Du musst dir nur überlegen, von wo bis wo du integrieren müsstest. Der Flächeninhalt ergibt sich dann aus dem Betrag der Differenz des Wertes der Stammfunktion an der oberen Integrationsgrenze und dem Wert der Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze, einfacher: Wenn eine integrierbare Funktion [mm]f(x)[/mm] im offenen Intervall [mm](a,b)[/mm] keine Nullstellen besitzt, dann gilt für den Flächeninhalt
[mm]A = | \int_a^b f(x)\, dx |= F(b) -F(a)[/mm],
wenn [mm]F(x)[/mm] die Stammfunktion von [mm]f(x)[/mm] ist.
Versuche es doch einfach mal, du kennst ja die Stammfunktion [mm]F_4[/mm] von [mm]f_4[/mm].
Ich bin gespannt auf deine Verbesserungen und Lösungsvorschläge. Allerdings können wir nur hoffen, dass dir nachher jemand anderes hier im Forum hilft, ich bin nämlich gleich (für fast den gesamten Rest des Tages) weg.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 So 14.03.2004 | | Autor: | Silence |
Danke für deine rasche Antwort ! Die Fehler die ich oben begangen hatte, wollte ich noch editieren, ist mir erst im nachhinein aufgefallen. Ich werde nachher die Aufgaben noch mal Stück für Stück durchgehen, muss jetz aber leider weg.
Bis dann !
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:33 So 14.03.2004 | | Autor: | Silence |
> > Auch weil mir 2 Stunden in diesem Forum mehr
> > bringen als 6 Stunden Mathe in der Schule.
>
> Das ist klar und liegt nicht unbedingt an deinem
> Unterricht. In einem Forum (oder privater Einzelnachhilfe)
> kann man halt viel besser auf individuelle Probleme
> eingehen.
Liegt in dem Fall aber 100% am Unterricht ;)
>
> > Extrempunkte:
> > f`(x)=0
> > 0=x*(2ln(x/t)+1)
> > x1=0 ( kein Element aus D) V (2ln(x/t)+1)=0 |-1
V (2ln(x/t)+1)=-1
V ln(x/t)=-1/2
V x=t*e^-1/2
> > ft"(t*e^-1/2)=(2*ln(t*e^-1/2/t)+3)
=2*-1/2+3
=2
= > 0
TP:ft(t*e^-1/2)=(t*ê^-1/2)²*ln(t*e^-1/2/t)
=(t*e^-1/2)²*ln e^-1/2
=(t*e^-1/2)²*-1/2
---> TP(t*e^-1/2)/-1/2(t*e^-1/2)²
>
>
>
Wendepunkte:
f"(x)=0
0=2*ln(x/t)+3 | -3
0=ln(x/t)+3
2*ln(x/t)=-3 |:2
x=t*e^-3/2
ft3(t*e^-3/2)=2/t*e^-3/2 --> ungleich 0
ft(t*e^-3/2)=(t*e^-3/2)²*ln(t*e^-3/2/t)
=(t*e^-3/2)²*-3/2
--> WP (t*e^-3/2)/(-3/2(t*e^-3/2)²)
>
>
>
> >
>>
> 3.Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet für 0<u<_ 4
> K4 im Punkt P und die x-Achse im Punkt Q. Berechnen Sie
> denjenigen Wert von u, für den der Flächeninhalt des druch
> den Koordinatenursprung O,P und Q gegebenen Dreiecks
> maximal wird. (Vergessen sie dabei die Randbetrachtung
> nicht!). Berechnen sie den maximalen Flächeninhalt
>
>
> > Meine Lösung:
> > A(u)=1/2u*u²(ln(u/t))
>
> Richtiger Ansatz!!
>
> > A(u)=1/2u³*(ln(u/t))
>
>
>
> > A`(u)=3/2u²*(ln(u/t)+1/2u³*1/u
=3/2u²*(ln(u/t)+1/2u²
=1/2u²(3*ln(u/t)+1)
1/2u²=0 V (3*ln(u/t)+1)=0 | -1 / :1/2
u²=0 V ln(u/t)=-1
V u=t*e^-1/3
u1/2=+-0 (Keine Elemente aus D)V
>
>
> > Randbetrachtung:
> > lim A(u)=0
> > u-->+0
> > lim A(u)=0
> > u-->-0
>
> Ja, aber das müsstest du schon noch nachweisen. Mit de
> l'Hospital, wie oben in meiner Rechnung.
lim=1/2u³*(ln(u/t)
= ln(u/t)/1/0,5u³
=1/u/-(2/0,5uhoch4)
=-0,5u³/2
=0
> 4. Berechnen sie die Gleichung der Ortskurve, auf der alle
> TP von Kt liegen.
>
> > Meine Lösung:
> >
> > ---> TP(t*e^-1/2)/-1/2(t*e^-1/2)²
> > x=t*e^-1/2
> > y=-1/2*(t*e^-1/2)²
> >
t=x/e^-1/2
------>-1/2*(t*e^-1/2)²=x*(-1/2)*(t*e^-1/2)² / e^-1/2*(-1/2)*(t²)*(e^-1/2)
y=-1/2*(t*e^-1/2)²
y=x*(-1/2)*(t*e^-1/2)² / e^-1/2*(-1/2)*(t²)*(e^-1/2)=Ortskurve
Und zur letzten Aufgabe fällt mir nichts ein, bin momentan blockiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 So 14.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
> > > Extrempunkte:
> > > f`(x)=0
> > > 0=x*(2ln(x/t)+1)
> > > x1=0 ( kein Element aus D) V (2ln(x/t)+1)=0 |-1
> V
> (2ln(x/t)+1)=-1
Hier ist die "+1" in Klammern zu viel, aber im nächsten Schritt rechnest du ja richtig weiter:
> V
> ln(x/t)=-1/2
> V
> x=t*e^-1/2
> > > ft"(t*e^-1/2)=(2*ln(t*e^-1/2/t)+3)
[mm] ($f_t''$ [/mm] habe ich nicht kontrolliert)
Die Schreibweise (insbesondere der Exponent von e) ist nicht eindeutig, und macht eine Korrektur schwierig, aber:
> =2*-1/2+3
> =2
> = > 0
> TP:ft(t*e^-1/2)=(t*ê^-1/2)²*ln(t*e^-1/2/t)
> =(t*e^-1/2)²*ln e^-1/2
> =(t*e^-1/2)²*-1/2
, aber kann weiter vereinfacht werden: [mm] $\left( t*e^{-1/2}\right)^2 [/mm] * [mm] (-1/2)=t^2*e^{-1}*(-1/2)=-\bruch{t^2}{2e}$
[/mm]
> ---> TP(t*e^-1/2)/-1/2(t*e^-1/2)²
> Wendepunkte:
> f"(x)=0
> 0=2*ln(x/t)+3 | -3
> 0=ln(x/t)+3
Diese Gleichung ist falsch; ich überlese sie einfach, da die richtige jetzt kommt:
> 2*ln(x/t)=-3 |:2
> x=t*e^-3/2
> ft3(t*e^-3/2)=2/t*e^-3/2 --> ungleich 0
[mm] ($f_t''' [/mm] nicht kontrolliert)
> ft(t*e^-3/2)=(t*e^-3/2)²*ln(t*e^-3/2/t)
> =(t*e^-3/2)²*-3/2
, aber auch hier kann man weiter vereinfachen (Übung?).
> --> WP (t*e^-3/2)/(-3/2(t*e^-3/2)²)
> >
> >
> >
> > >
> >>
> > 3.Die Gerade mit der Gleichung x=u schneidet für 0<u<_ 4
>
> > K4 im Punkt P und die x-Achse im Punkt Q. Berechnen
> Sie
> > denjenigen Wert von u, für den der Flächeninhalt des
> druch
> > den Koordinatenursprung O,P und Q gegebenen Dreiecks
> > maximal wird. (Vergessen sie dabei die Randbetrachtung
>
> > nicht!). Berechnen sie den maximalen Flächeninhalt
> >
> >
> > > Meine Lösung:
> > > A(u)=1/2u*u²(ln(u/t))
> >
> > Richtiger Ansatz!!
> >
> > > A(u)=1/2u³*(ln(u/t))
> >
> >
> >
> > > A`(u)=3/2u²*(ln(u/t)+1/2u³*1/u
> =3/2u²*(ln(u/t)+1/2u²
> =1/2u²(3*ln(u/t)+1)
> 1/2u²=0 V (3*ln(u/t)+1)=0 |
> -1 / :1/2
> u²=0 V ln(u/t)=-1
Die rechte Gleichung ist falsch, sie müßte ln(u/t)=-1/3 lauten, aber hier stimmt wieder alles:
> V u=t*e^-1/3
> u1/2=+-0 (Keine Elemente aus D)V
> >
> >
> > > Randbetrachtung:
> > > lim A(u)=0
> > > u-->+0
Das reicht für den linken Rand, das folgende ist überlflüssig (und außerdem nicht definiert):
> > > lim A(u)=0
> > > u-->-0
Stattdessen müßtest du noch den rechten Rand $u=4$ überprüfen, aber machen wir erst den linken Rand:
> lim=1/2u³*(ln(u/t)
> = ln(u/t)/1/0,5u³
> =1/u/-(2/0,5uhoch4)
> =-0,5u³/2
> =0
, bis auf die 2, die eine 3 sein müßte.
Was natürlich nicht ok ist, ist die Schreibweise hier im Forum.
> > 4. Berechnen sie die Gleichung der Ortskurve, auf der
> alle
> > TP von Kt liegen.
> >
> > > Meine Lösung:
> > >
> > > ---> TP(t*e^-1/2)/-1/2(t*e^-1/2)²
> > > x=t*e^-1/2
> > > y=-1/2*(t*e^-1/2)²
> > >
> t=x/e^-1/2
> ------>-1/2*(t*e^-1/2)²=x*(-1/2)*(t*e^-1/2)² /
> e^-1/2*(-1/2)*(t²)*(e^-1/2)
> y=-1/2*(t*e^-1/2)²
> y=x*(-1/2)*(t*e^-1/2)² /
> e^-1/2*(-1/2)*(t²)*(e^-1/2)=Ortskurve
>
>
> Und zur letzten Aufgabe fällt mir nichts ein, bin momentan
> blockiert.
Dazu schreibe ich vielleicht später was, ich habe jetzt keine Zeit mehr, mich durch dieses Zeichenchaoas zu schlagen.
Es wäre nett, wenn du uns das nächste Mal -- wenn du schon nicht unseren mathematischen Textsatz benutzen willst -- durch eine übersichtlichere und vor allem eindeutige Schreibweise entgegenkommen würdest. So habe ich jetzt die meiste Zeit damit verbracht, dein Geschriebenes zu rekonstruieren.
Bis später,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
> > 4. Berechnen sie die Gleichung der Ortskurve, auf der alle TP von Kt liegen.
> >
> > > Meine Lösung:
> > >
> > > ---> TP(t*e^-1/2)/-1/2(t*e^-1/2)²
> > > x=t*e^-1/2
> > > y=-1/2*(t*e^-1/2)²
> > >
> t=x/e^-1/2
> ------>-1/2*(t*e^-1/2)²=x*(-1/2)*(t*e^-1/2)² / e^-1/2*(-1/2)*(t²)*(e^-1/2)
> y=-1/2*(t*e^-1/2)²
> y=x*(-1/2)*(t*e^-1/2)² / e^-1/2*(-1/2)*(t²)*(e^-1/2)=Ortskurve
Ich habe nochmal versucht, das zu entziffern, ist mir aber nicht gelungen. Woher kommen z.B. plötzlich die großen Brüche?
Aber der Ansatz scheint zu stimmen:
Die x- und y-Koordinate sind beide abhänging von t; also löst du die Gleichung für die x-Koordinate nach t auf und ersetzt den gewonnen Ausdruck für t in y.
> Und zur letzten Aufgabe fällt mir nichts ein, bin momentan
> blockiert.
Hierzu hat Stefan dir ja schon ein paar Tipps gegeben.
Zunächst berechnst du die Nullstellen von [mm] $f_4$:
[/mm]
[mm] $f_4(x)=x^2*\ln(x/4)$
[/mm]
Die eingeschlossene Fläche von der hier die Rede ist, wird nämlich von diesen Nullstellen begrenzt.
Nun integrierst du von Nullstelle zu Nullstelle, und summierst die Beträge der Integration (weil das Integral die Eigenschaft hat, Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen, einen negativen Wert zuzuordnen).
Hier in diesem Fall ist es aber nicht so kompliziert, denn [mm] $f_4$ [/mm] hat nur zwei Nullstellen ($0$ und $4$). Also ist dieses Integral zu berechnen:
[mm] $\integral_0^4 f_4(x)\;dx$ [/mm] = [mm] F_4(4)-F_4(0)$
[/mm]
[mm] ($F_4$ [/mm] ist die Stammfunktion, die du ja bereits kennst, da sie in der Aufgabenstellung gegeben war.)
Wenn du magst, kannst du ja die obige Darstellung der Ortskurve ja noch etwas verdeutlichen, und dich nochmal an der Flächenberechnung versuchen. Bei Fragen melde dich unbedingt wieder
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Silence |
> Zunächst berechnst du die Nullstellen von [mm] $f_4$:
[/mm]
>
> [mm] $f_4(x)=x^2*\ln(x/4)$
[/mm]
>
> Die eingeschlossene Fläche von der hier die Rede ist, wird
> nämlich von diesen Nullstellen begrenzt.
> Nun integrierst du von Nullstelle zu Nullstelle, und
> summierst die Beträge der Integration (weil das Integral
> die Eigenschaft hat, Flächen, die unterhalb der x-Achse
> liegen, einen negativen Wert zuzuordnen).
>
> Hier in diesem Fall ist es aber nicht so kompliziert, denn
> [mm] $f_4$ [/mm] hat nur zwei Nullstellen ($0$ und $4$). Also ist
> dieses Integral zu berechnen:
>
> [mm] $\integral_0^4 f_4(x)\;dx$ [/mm] = [mm] F_4(4)-F_4(0)$
[/mm]
>
> [mm] ($F_4$ [/mm] ist die Stammfunktion, die du ja bereits kennst, da
> sie in der Aufgabenstellung gegeben war.)
[mm] \integral_0^4{f(4) dx} [/mm] = [F4(4)-F4(0)]
=((1/3*4³)*ln(4/4)-1/9*4³)-((1/3*0³)*ln(0/4)-1/9*0³)
=((64/3)*ln(1)-64/9)-(0)
=64/3*0-64/9
=-64/9
A=-7,1
Da der Flächeninhalt jedoch nicht negativ sein kann, ist er +7,1 ? Bzw das "-" bedeutet das der Flächeninhalt unterhalb der Y Achse im negativen Bereich liegt und das Ergebnis deshalb nicht positiv sein kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
> [mm] \integral_0^4{f(4) dx} [/mm] = [F4(4)-F4(0)]
>
> =((1/3*4³)*ln(4/4)-1/9*4³)-((1/3*0³)*ln(0/4)-1/9*0³)
> =((64/3)*ln(1)-64/9)-(0)
> =64/3*0-64/9
> =-64/9
> A=-7,1
> Da der Flächeninhalt jedoch nicht negativ sein kann, ist er
> +7,1 ? Bzw das "-" bedeutet das der Flächeninhalt unterhalb
> der Y Achse im negativen Bereich liegt und das Ergebnis
> deshalb nicht positiv sein kann?
Ja, genau, das bedeutet es. (Natürlich nur, wenn du x- statt y-Achse meinst )
Wenn man von Nullstelle zu Nullstelle integriert, ist die dazwischenliegende Fläche immer komplett unterhalb oder oberhalb der x-Achse (ansonsten gäbe es ja eine weitere Nullstelle dazwischen). Da das Integral für die Flächenberechnung die hinderliche Eigenschaft hat, Flächen unterhalb mit negativen Werten zu bewerten, nimmt man einfach den Betrag des Integralwertes, der dann immer positiv ist.
Zur Veranschaulichung ein ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Silence |
Wenn jetz [mm] f_4(x)=x^2*\ln(x/4) [/mm] 3 Nullstellen haben würde und die Frage "Berechnen sie den Inhalt der von K4 und der x-Achse eingeschlossenen Fläche" gleichgeblieben wäre, müsste ich jeweils die äussersten Nullstellen voneinander abziehen oder ?
Also wenn ich jetz statt x1=0 und x2=4
x1=0 ,x2=4 und x3=6 haben würde
müsste ich F4(0)-F4(6) machen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
> Wenn jetz [mm]f_4(x)=x^2*\ln(x/4)[/mm] 3 Nullstellen haben würde und
> die Frage "Berechnen sie den Inhalt der von K4 und der
> x-Achse eingeschlossenen Fläche" gleichgeblieben wäre,
> müsste ich jeweils die äussersten Nullstellen voneinander
> abziehen oder ?
> Also wenn ich jetz statt x1=0 und x2=4
> x1=0 ,x2=4 und x3=6
> haben würde
> müsste ich F4(0)-F4(6) machen ?
Nein, eben nicht (siehe meine anderen Postings).
Du müßtest von Nullstelle zu Nullstelle integrieren, also in deinem Beispiel von
[mm] $x_1=0$ [/mm] zu [mm] $x_2=4$ [/mm] und von
[mm] $x_2=4$ [/mm] bis [mm] $x_3=6$.
[/mm]
Insgesamt ist dann dieser Ausdruck zu berechnen:
[mm] A=$\left| \integral_0^4 f_4(x)\;dx \right| [/mm] + [mm] \left| \integral_4^6 f_4(x)\;dx \right|$
[/mm]
[mm] $=|F_4(4)-F_4(0)|+|F_4(6)-F_4(4)|$
[/mm]
$=|-7{,}1| + [mm] \ldots [/mm] $
$=7{,}1 + [mm] \ldots [/mm] $
Alles klar? Frag' bitte, falls nicht.
Alles Gute,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Silence |
Ah ok, perfekt jetz hab ich es verstanden. Danke ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Silence,
> Ah ok, perfekt jetz hab ich es verstanden. Danke ;)
Schön, das freut mich. Ich hatte schön befürchtet, ich hätte dich gestern mit meinen Bemerkungen zur Lesbarkeit deines Beitrags vergrault...
Alles Gute,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Di 16.03.2004 | | Autor: | Silence |
> Schön, das freut mich. Ich hatte schön befürchtet, ich
> hätte dich gestern mit meinen Bemerkungen zur Lesbarkeit
> deines Beitrags vergrault...
Ah wah ;)
Beim durchlesen sind mir dann doch noch ein paar Fragen auf/eingefallen.
Wie kommt man bei den folgenden Rechnungen zu dessen Umformungen, bzw. wie lautet dafür die allg. Rechenregel. ( Hab dazu nichts gefunden)
(t*e^-1/2)²*(-1/2)=t²*e^-1*(-1/2)=-(t²/2e)
"(t*e^-1/2)²*(-1/2)=t²*e^-1*(-1/2)" entspricht ja der Rechenregel: beispielsweise (a²)³=a²*³, aber davon zu -(t²/2e) ?
bzw.
> [mm]=\lim_{x \downarrow 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-2}{x^3}}[/mm]
zu
> [mm]=\lim_{x \downarrow 0} \frac{-x^2}{2}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 16.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Silence!
> (t*e^-1/2)²*(-1/2)=t²*e^-1*(-1/2)=-(t²/2e)
Also: Wir wollen zeigen, dass
[mm](t\cdot e^{-\frac{1}{2}})^2 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right) = - \frac{t^2}{2e}[/mm]
gilt. (Nebenbei bemerkt: Hast du denn jetzt mal versucht dir den mathematischen Textsatz beizubringen?)
Im ersten Schritt wenden wir die Potenzregel
[mm](a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n [/mm]
an, und zwar für
[mm]n=2[/mm], [mm]a=t[/mm] und [mm]b^=e^{-\frac{1}{2}}[/mm].
Damit erhalten wir:
[mm](t\cdot e^{-\frac{1}{2}})^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)= t^2 \cdot \left(e^{-\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)[/mm].
Nun wenden wir die Potenzregel
[mm]\left(a^n\right)^m = a^{n\cdot m}[/mm]
an, und zwar für
[mm]a=e[/mm], [mm]n=-\frac{1}{2}[/mm] und [mm]m=2[/mm].
Damit erhalten wir:
[mm]t^2 \cdot \left(e^{-\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)= t^2 \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot 2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)= t^2 \cdot e^{-1}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) [/mm].
Nun gilt weiterhin die Regel:
[mm]a^{-n} = \frac{1}{a^n}[/mm].
Wenden wir diese auf [mm]a=e[/mm], [mm]n=1[/mm] an, so haben wir:
[mm]e^{-1} = \frac{1}{e^1}= \frac{1}{e}[/mm],
also:
[mm] t^2 \cdot e^{-1} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)= t^2 \cdot \frac{1}{e} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)= - \frac{t^2}{2e}[/mm].
Klar?
> > [mm]=\lim_{x \downarrow 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-2}{x^3}}[/mm]
>
> zu
>
> > [mm]=\lim_{x \downarrow 0} \frac{-x^2}{2}[/mm]
Es gilt:
"Bruch geteilt durch Bruch ist gleich Bruch mal Kehrbruch",
also:
[mm]\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-2}{x^3}}= -\frac{\frac{1}{x}}{\frac{2}{x^3}}=- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^3}{2} = - \frac{x^2}{2}[/mm].
(Zum Vergrößern der Formel bitte auf die Formel klicken!)
Im letzten Schritt wurde ein [mm]x[/mm] gekürzt. Das Minuszeichen kann man jetzt noch in den Zähler (oder Nenner) schreiben, muss man aber nicht.
Liebe Grüße
julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Di 16.03.2004 | | Autor: | Silence |
Ok vielen Dank !
> (Nebenbei bemerkt: Hast du denn jetzt mal versucht
> die den mathematischen Textsatz beizubringen?)
Ja hatte ich benutzt, nur ging bei bei der erstigen Gleichung die Formel irgendwie nicht.
cya
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 16.03.2004 | | Autor: | Silence |
Hab dann doch noch paar weitere Fragen gefunden die mich beschäftigen. (tut mir leid das ich soviel frage, aber dies wird am DO ein Ende gefunden haben, da dort ja meine Mathearbeit droht;))
Also
aus ln([mm] \bruch{x}{t}[/mm])
wird [mm] \bruch{1}{x}[/mm]
und aus ln[mm] \((x)[/mm]
ebenfalls [mm] \bruch{1}{x}[/mm]
bei der Ableitung. Aber wieso genau ?
Bzw wie wäre die Ableitung dann für ln([mm] \bruch{4}{t}[/mm])
Und bestimmt letzte Frage für heute, wieso wird bei der Ableitung von
[mm] \bruch{2}{x}[/mm]
daraus
-[mm] \bruch{2}{x²}[/mm]
bzw bei der Berechnung von [mm]\lim_{x \downarrow 0} x^2 \cdot \ln(\frac{x}{t})[/mm]
wird aus:
[mm]=\lim_{x \downarrow 0} \frac{\ln(\frac{x}{t})}{\frac{1}{x^2}}[/mm]
-->
[mm]=\lim_{x \downarrow 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-2}{x^3}}[/mm]
Also im Endefekt nicht das gleiche Schema, da aus
[mm] \bruch{2}{x}[/mm] einmal -[mm] \bruch{2}{x²}[/mm] wird (2 bleibt)
und aus
[mm] \bruch{1}{x²}[/mm] , [mm] \bruch{-2}{x³}[/mm] (aus 1 wird 2/ bzw die Zahl erhöt sich um 1 und bleibt nicht konstant wie oben)
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Die Lösung ist falsch, wird aber hier: https://matheraum.de/read?f=1&t=388&i=434 von Julius verbessert.
Hallo Silence!
Wenn ich mich hier mal einmischen darf...
Der Ausdruck [mm]ln(\frac{x}{t})[/mm] ist nichts anderes als [mm]ln(x) - ln(t)[/mm].
So, wie bei Potenzen gilt, dass [mm]a^b * a^c = a^{b+c}[/mm], so gilt beim Rechnen mit Logarithmen eben die Regel [mm]log_a (x) + log_a(y) = log_a (x*y)[/mm] und ebenso dann auch [mm]log_a (x) - log_a(y) = log_a(\frac{x}{y})[/mm]
Wenn du nun also den Ausdruck [mm]ln(x) - ln(t)[/mm] ableitest, erhälst du lediglich [mm]\frac{1}{x}[/mm], da ln(t) ja eine Konstante ist und somit abgeleitet 0 wird.
Bei deinen Ausdruck [mm]ln(\frac{4}{t})[/mm] hängt es jetzt davon ab, ob du ihn als Funktion von x oder als Funktion von t ableiten willst.
Im ersten Fall, also als Funktion von x, gilt folgendes:
[mm]f_t'(x) = (ln(\frac{4}{t}))' = 0[/mm]
Der Grund ist einfach, dass dein Ausdruck in diesem Fall konstant ist. t ist dann lediglich Parameter der Funktion, es handelt sich somit also um eine Funktionenschar, für die man ein festes t bestimmen kann, um dann eine einzige Kurve aus der Schar zu betrachten.
Möchtest du jetzt aber deinen Ausdruck als Funktion von t betrachten, lautet die Ableitung so:
[mm]f'(t) = (ln(\frac{4}{t}))' = \frac{1}{(\frac{4}{t})'} = \frac{1}{\frac{-4}{t^2}} = -\frac{t^2}{4}[/mm]
Darin taucht auch schon gleich deine dritte Frage auf.
Warum ist die Ableitung von 1/x gleich -1/x²?
Nun, du kannst deinen Ausdruck 1/x ja auch wie folgt schreiben: [mm]\frac{1}{x} = x^{-1}[/mm]
Wenn du nun deine gewohnten Ableitungsregeln anwendest, nämlich den Exponenten eins verringern und mit dem früheren Exponenten multiplizieren, kommst du darauf: [mm]-1*x^{-2}[/mm]
Und wenn du das auch wieder umformst, erhälst du [mm]\frac{-1}{x^2}[/mm]
Das Gleiche gilt dann natürlich auch für 2/x und für jedes andere beliebige konstante Vielfache von 1/x.
Kannst du dir jetzt noch selber erklären, wie es zu der Ableitung von [mm]-1*x^{-2}[/mm] kommt?
Wenn nicht, frag einfach nochmal.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Silence |
[mm]f'(t) = (ln(\frac{4}{t}))' = \frac{1}{(\frac{4}{t})'} = \frac{1}{\frac{-4}{t^2}} = -\frac{t^2}{4}[/mm]
I
n dem Fall ist (4/t)=4*t^-1
=-1*4*t^-2
=-4*t^-2
[mm] =-4*(1/t^2)
[/mm]
=-4/t²
Zum Verständnis für mich, mit eigenen Worten:
Desweiteren kommt es darauf an ob "t" von Ft(x) oder von F(t) gemeint ist.
Beim ersten Fall ist "t" eine Konstante und deshalb nach der ersten Ableitung von ln(4/t), 0 ergibt.
Beim zweiten Fall wird "t" im Prinzip normal wie "x" betrachtet , also wird dann mit der Rechenregel (1/g´(x)) abgeleitet.
2. In dem Fall ist die Ableitung von 2/x:
2*x^-1
2*-1*x^-2
-2*x^-2
-2*(1/x²)
-2/x²
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Silence!
> [mm]f'(t) = (ln(\frac{4}{t}))' = \frac{1}{(\frac{4}{t})'} = \frac{1}{\left(\frac{-4}{t^2}\right)} = -\frac{t^2}{4}[/mm]
Hier hat sich ministel wohl vertan.
Für die Funktion [mm]f(t) = ln\left(\frac{4}{t}\right)[/mm] gilt nach der Kettenregel:
[mm]f'(t) = \frac{1}{\left(\frac{4}{t}\right)} \cdot \frac{4}{\left(-t^2\right)} = \frac{t}{4} \cdot \frac{4}{(-t^2)} = - \frac{1}{t}[/mm].
Was man an [mm]f(t)=ln(4)-ln(t)[/mm] auch noch schneller sieht...
> Zum Verständnis für mich, mit eigenen Worten:
> Desweiteren kommt es darauf an ob "t" von Ft(x) oder von
> F(t) gemeint ist.
> Beim ersten Fall ist "t" eine Konstante und deshalb nach
> der ersten Ableitung von ln(4/t), 0 ergibt.
> Beim zweiten Fall wird "t" im Prinzip normal wie "x"
> betrachtet.
Bis dahin stimmt alles, das mit der "Rechenregel (1/g´(x))" habe ich nicht verstanden.
> 2. In dem Fall ist die Ableitung von 2/x:
>
> 2*x^-1
>
> 2*-1*x^-2
>
> -2*x^-2
> -2*(1/x²)
>
> -2/x²
(bis auf die Schreibweise)
Liebe Grüße
julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Silence |
Ah ok danke -.-
Btw ist mir noch aufgefallen , bei ln(x/4) wie müsste man (x/4) umformen damit man es ableiten kann ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Silence!
> Btw ist mir noch aufgefallen , bei ln(x/4) wie müsste man
> (x/4) umformen damit man es ableiten kann ?
Also, du kannst [mm]f(x)=ln\left(\frac{x}{4}\right)[/mm] auf zwei Arten ableiten.
Entweder du schreibst [mm]f(x) = ln(x)-ln(4)[/mm] und siehst nach der Summenregel sofort, dass [mm]f'(x) = \frac{1}{x}[/mm] ist oder aber du leitest mit der Kettenregel ab:
[mm]f'(x) = \frac{1}{\left( \frac{x}{4}\right)} \cdot \frac{1}{4} =
\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{x}[/mm].
Die innere Ableitung ergibt sich aus [mm]\frac{x}{4} = \frac{1}{4} \cdot x[/mm] und der Faktorregel: [mm](c\cdot f)'(x)=c\cdot f'(x)[/mm], wenn [mm]c[/mm] eine Konstante ist.
Liebe Grüße
julius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Silence |
ok vielen Dank jetz ist mir einiges klarer ! Zum Schluss hab ich noch eine Aufgabe, das wars dann wirklich für eine lange Zeit ;)
Aufgabe:
[mm]ft(x)=1-(ln\left(\frac{x}{t}\right))²[/mm]
Kt sei der Graph von ft
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten an K2 im Punkt W(2e/0).
Die Tangente schließt mit den beiden Koordinatenachsen eine Dreiecksfläche ein. Berechnen sie ihren Inhalt.
Danke im vorraus für die Hilfe !
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Hallo Silence!
Ich versuchs nochmal, in der Hoffnung, dass da nicht wieder Blödsinn bei rauskommt, aber ich denke nicht. ;)
Also:
Zu allererst brauchst du ja deine Tangentengleichung. Wie bestimmt man die nun?
Es gilt ja, dass die 1. Ableitung einer Funktion in einem Punkt stets dessen Steigung angibt. Das heißt also, dass du, um die Steigung deiner Tangentengleichung zu ermitteln, einfach die 1. Ableitung deiner Funktion an der Stelle [mm]x_0 = 2e[/mm] bilden musst.
Anschließend berechnest du die Funktionsgleichung deiner Tangente mit folgender Formel:
[mm]t(x) = f_2'(x_0)*(x-x_0) + f_2(x_0)[/mm]
Den Funktionswert für 2e hast du ja schon durch den Punkt gegeben, sodass also der zweite Summand wegfällt, weil er eh 0 ist. Bleibt dann nur noch das Ausmultiplizieren über.
Ich sage dir jetzt mal das Ergebnis, schreibe aber nicht den Rechenweg auf. So kannst du es selber mal versuchen und dann vergleichen, ob du richtig liegst.
Mein Ergebnis ist: [mm]t(x) = \frac{x}{e} - e[/mm]
Wenn du etwas anderes rausbekommst, schreib dein Ergebnis mal auf, dann schauen wir, ob bei mir oder dir der Fehler liegt. :)
Um jetzt den Flächeninhalt des Dreiecks zu bestimmen, brauchen wir nur noch die Schnittpunkte mit den Achsen.
Durch den gegebenen Punkt haben wir ja bereits unsere Nullstelle, nämlich (2e,0), und da die Tangentengleichung ja linear ist, können wir den y-Achsenabschnitt sofort ablesen: (0,-e)
Nun wissen wir: Flächeninhalt = Grundseite mal Höhe durch 2.
Unsere Höhe ist dabei einfach die Strecke vom Nullpunkt bis zum y-Achsenabschnitt, also e (wir nehmen dafür einfach den Betrag von -e; negative Strecken gibt es ja nicht). Die Grundseite ist dann der Abstand vom Nullpunkt zur Nullstelle, also 2e.
Und somit ergibt sich dann für den Flächeninhalt F = 2e*e/2 = e².
Bekommst du das auch raus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Silence |
Also die erste Ableitung die bei mir (2/x)*(ln(x/t) lautet komm ich. Aber danach komm ich auf kein gescheites Ergebniss mehr. ( Kann auch darin liegen das ich nicht mehr klar denken kann ^^). Das mit dem darauffolgenden Flächeninhalt hab ich kapiert, danke.
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Wenn du noch ein Minus davor setzt, haben wir sogar das gleiche. ;)
Okay, ich machs mal ausführlich:
[mm]t(x) = f_2'(x_0)*(x-x_0) + f_2(x_0) = f_2'(2e)*(x-2e) + f_2(2e) = -\frac{2}{2e}ln(\frac{2e}{2})*(x-2e) + 0 = -\frac{1}{e}ln(e)*(x-2e) = -\frac{x-2e}{e} = \frac{x}{e} - e[/mm]
Et voilà. :) Jetzt verständlicher?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mi 17.03.2004 | | Autor: | Silence |
Ah habn sau dummen Fehler gemacht, deswegen gings bei mir nicht auf. Aufjedenfall danke nochmal für deine rasche Hilfe hoffentlich wirds für die morgige Mathearbeit was bringen ;)
cya
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mi 17.03.2004 | | Autor: | ministel |
> Hier hat sich ministel wohl vertan.
Oh, in der Tat. Hmpf. :) Danke fürs Verbessern!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Silence,
noch mal zu der Ortskurve:
> > 4. Berechnen sie die Gleichung der Ortskurve, auf der
> alle
> > TP von Kt liegen.
> >
> > > Meine Lösung:
> > >
> > > ---> TP(t*e^-1/2)/-1/2(t*e^-1/2)²
> > > x=t*e^-1/2
> > > y=-1/2*(t*e^-1/2)²
> > >
> t=x/e^-1/2
> ------>-1/2*(t*e^-1/2)²=x*(-1/2)*(t*e^-1/2)² /
> e^-1/2*(-1/2)*(t²)*(e^-1/2)
> y=-1/2*(t*e^-1/2)²
> y=x*(-1/2)*(t*e^-1/2)² /
> e^-1/2*(-1/2)*(t²)*(e^-1/2)=Ortskurve
Wie Marc schon meinte, das ist alles etwas unklar und im Grunde unlesbar. Ich konnte es ebenfalls nicht nachvollziehen, was du da gemacht hast. Aber damit du nicht den Eindruck hast, wir lassen dich im Stich, mache ich mir nochmal die Mühe es richtig hinzuschreiben.
Richtig gesehen hattest du ja, dass für jeden Tiefpunkt [mm]T_t(x_t/y_t)[/mm] folgendes gilt:
(1) [mm]x_t = t*e^{-\frac{1}{2}}[/mm],
(2) [mm]y_t = -\frac{1}{2}*(t*e^{-\frac{1}{2}})^2[/mm].
Lösen wir (1) nach [mm]t[/mm] auf, so folgt:
[mm]t = x_t \cdot e^{\frac{1}{2}}[/mm].
Setzen wir das dann in (2) ein, so erhalten wir:
[mm]y_t = - \frac{1}{2}*(x_t \cdot e^{\frac{1}{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}})^2 = - \frac{1}{2}*x_t^2[/mm].
Demnach liegen auf der Kurve
[mm]\left\{\left(x,-\frac{1}{2}\, x^2}\right)\, : \, x \in \mathbb{R}_+^{\*}\right\}[/mm]
alle Tiefpunkte.
Hast du noch Fragen dazu?
Ich denke mal du siehst selber, dass man meine Sachen im mathematischen Textsatz sehr viel besser lesen kann. Wenn du möchtest, dass wir dir weiterhin schnell und effektiv weiterhelfen, solltest du ihn ebenfalls erlernen. Das ist recht einfach. Üben kannst du es ja in umserem Testforum: https://matheraum.de/list?f=4
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Silence |
Vielen Dank für die reichlichen und informative Antworten. Werde mir wohl versuchen müssen in Zukunft den mathematischen Textsatz anzulernen :).
Zur Ortskurve:
In dem Fall hab ich es mir selbst zu sehr verkomplizert.
Ich muss einfach den x Wert nach t auflösen, dann dieses t in den y Wert einsetzen und auflösen ?
An den Flächeninhalt der letzten Aufgabe werde ich mich noch heute Abend dransetzen, bin momentan noch mit BWL und Ch beschäftigt.
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