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Hallo,
ich möchte für meine Zusammenfassung kurz (und richtig) zusammenfassen, welche Werte ich für ln(x) und [mm] e^x [/mm] einsetzen darf sowie welche Ergebnisbereiche es gibt.
Meiner Meinung nach ist es so:
ln:
ich darf nur Werte >0 einsetzen
für Werte zwischen 0 und 1 bekomme ich negative Ergebnisse
für alle anderen wird ln nie negativ
Aber das würde der Definition widersprechen, die wir mal hatten, dass ln NIE negativ wird. Wie kann das sein? ln 0,5 ist doch etwas Negatives?
[mm] e^x:
[/mm]
ich darf alle Werte größer und kleiner 0 einsetzen und es werden alle Werte von -unendlich bis +unendlich getroffen
wird für x < 0 negativ
Irgendwie fehlt mir gerade der Durchblick :(
Verhalten im Unendlichen ist mir soweit klar, aber: Warum ist zB - ln(x) für x->0 = unendlich?
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> ich möchte für meine Zusammenfassung kurz (und richtig)
> zusammenfassen, welche Werte ich für ln(x) und [mm]e^x[/mm]
> einsetzen darf sowie welche Ergebnisbereiche es gibt.
Hallo,
das ist eine richtig gute Idee.
Am besten machst Du Dir zu beiden Funktionen auch noch eine Zeichnung/Plot. Wenn man das Bild sicher abrufen kann, rettet einen das nämlich gut in Steßsituationen, und man erfährt anhand der eigenen Zeichunug alles, was man meinte, vergessen zu haben. (Wenn man der entsprechende Denk- bzw. merktyp ist.)
> ln:
>
> ich darf nur Werte >0 einsetzen
Ja. Der Graph der Funktion verläuft nur rechts der y-Achse.
> für Werte zwischen 0 und 1 bekomme ich negative
> Ergebnisse
Genau.
Ganz wichtig ist noch: ln(1)=0.
> für alle anderen wird ln nie negativ
Ja, rechts der 1 geht's dann über die x-Achse.
> Aber das würde der Definition widersprechen, die wir mal
> hatten, dass ln NIE negativ wird. Wie kann das sein? ln 0,5
> ist doch etwas Negatives?
Ich glaube, Du verwechselst etwas: in die Logarithmusfunktion darf man keine negativen Werte einsetzen: ln(-5) gibt's nicht.
Die Funktionswerte jedoch sind, wie Du selbst schreibst, zwischen 0 und 1 negativ.
> [mm]e^x:[/mm]
>
> ich darf alle Werte größer und kleiner 0 einsetzen und es
> werden alle Werte von -unendlich bis +unendlich getroffen
Nein. Du darfst jeden Wert einsetzen, egal ob positiv oder negativ, aber Du bekommst immer ein positives Ergebnis.
Bist Du mit x sehr weit im negativen bereich, so ist [mm] e^x [/mm] ganz nahe bei 0, probier's aus mit dem TR und berechne [mm] e^{-1000}.
[/mm]
Wenn Du 0 einsetzt, kommt 1 heraus: [mm] e^0=1,
[/mm]
und wenn Du sehr große x-Werte einsetzt, wird der Funktionswert [mm] e^x [/mm] riesengroß. Teste auch das mit Deinem Taschenrechner, und sieh Dir unbedingt den Graphen an.
> Verhalten im Unendlichen ist mir soweit klar, aber: Warum
> ist zB - ln(x) für x->0 = unendlich?
Auch hier: wenn Du den Graphen vorleigen hast, siehst Du, daß die Funktion in unermeßliche Tiefen verschwindet, wenn Du nahe bei x=0 bist.
In Zeichen: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}ln(x)=-\infty.
[/mm]
Tja, und dann ist natürlich [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(-ln(x))=\limes_{x\rightarrow 0}(-1*ln(x))=-1*\limes_{x\rightarrow 0}(ln(x))=-(-\infty)=\infty
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 08.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Danke sehr! :)
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Ich hab noch eine Frage zum Verhalten im Unendlichen der ln-Funktion:
Wenn ich -ln(x) zeichne, ist die ln-Funktion ja enfach nur gespiegelt. Wenn ich jetzt von oben gegen 0 "laufe", dann treffe ich doch die x-Achse, warum dann unendlich?
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> Ich hab noch eine Frage zum Verhalten im Unendlichen der
> ln-Funktion:
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> Wenn ich -ln(x) zeichne, ist die ln-Funktion ja enfach nur
> gespiegelt. Wenn ich jetzt von oben gegen 0 "laufe", dann
> treffe ich doch die x-Achse, warum dann unendlich?
Hallo,
Du möchtest doch übers Verhalten von -ln(x) für x gegen 0 reden, oder?
"Von oben gegen die 0" bezieht sich auf die x-Werte. Also: aus Richtung der großen x-Werte mich der 0 nähernd, bzw. mich von rechts der 0 nähernd.
Es bezieht sich nicht auf die y-Werte. Die sind dann die Objekte unseres Interesses.
Und hier stellt man fest: wenn man sich von rechts kommend der 0 nähert, werden die y-Werte der Punkte auf dem Graphen von f(x)=-ln(x)immer größer. Sie steigen ins Unermeßliche, gehen gegen [mm] \infty.
[/mm]
Gruß v. Angela
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