ln und exp.Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Do 28.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe 1 | Es gibt a [mm] \in \IC, [/mm] sodass [mm] e^x [/mm] keine Lösung auf [mm] \IC [/mm] hat.
Wahr oder Falsch? |
| Aufgabe 2 | | [mm] e^x [/mm] = ln(x) hat eine eindeutige Lösung auf [mm] \IR [/mm] |
| Aufgabe 3 | | [mm] e^x [/mm] = - ln (x) hat eine eindeutige Lösung auf [mm] \IR [/mm] |
| Aufgabe 4 | | Es gibt a [mm] \in \IR, [/mm] ssodass [mm] e^x [/mm] = a keine Lösung auf [mm] \IR [/mm] hat. |
| Aufgabe 5 | | Es gibt a [mm] \in \IR, [/mm] ssodass ln(x) = a keine Lösung auf [mm] \IR [/mm] hat. |
Mein Ansatz für die Aufgabe 3:
[mm] e^x [/mm] = -ln(x) [mm] \gdw e^x [/mm] = [mm] ln(\bruch{1}{x}) \gdw e^e^x [/mm] = [mm] e^ln(\bruch{1}{x}) \gdw e^{e*x} [/mm] (*)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] so, nun habe ich schonmal das ln weg, also nur noch eine Gleichung, die nur noch von [mm] e^x [/mm] abhängt. Weiter: [mm] \gdw e*x^{e*x} [/mm] = 1. Aber hier weiß ich nicht, wie ich das weiter auflösen soll? Jetzt in die Reihendastellung von exp einsetzten? also: [mm] \gdw x*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(x*e)^k}{k!} [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] ... Nein, ich müsste erst den Exponent IM Exponent wegbekommen, also die Exponenten irgendwie zusammenkriegen, aber das hab ich schon versucht, das geht doch nicht...?
Mein Ansatz für Aufgabe 2 wäre dann eigentlich fast der gleiche aber haltt mit [mm] -e^x [/mm] = -ln(x) [mm] \gdw e^x [/mm] = [mm] ln(\bruch{1}{x}) [/mm] usw. da komme ich aber genausowenig weiter. Gut, andere Möglichkeit (bei beiden): statt auf beiden Seiten zu exponieren, zu logarithmieren also:
bei Aufgabe 3: [mm] e^x [/mm] = -ln(x) [mm] \gdw e^x [/mm] = [mm] ln(\bruch{1}{x}) \gdw ln(e^x) [/mm] = ln(-ln(x)) [mm] \gdw [/mm] x= [mm] ln(ln(\bruch{1}{x}) \gdw [/mm] ...aber jetzt komme ich schon wieder nicht mehr weiter und außerdem habe ich dne ersten Weg gewählt, weil ich dachte, es ist leichter, die Reihendarstellung noch Exp. zu verwenden als die von log...
Bei den Aufgaben 1,4 und 5, müsste ich da nicht einfach schauen, ob die Exponential (bei Aufgabe 4) bzw. die Logarithmus- Funtkion auf [mm] \IR [/mm] beschränkt sind? Das ist bei der Logarithmus-Funktion nicht der Fall, ihr Defintionsbereich ist zwar nur [mm] \IR^+, [/mm] aber ihr Werte-bzw. Bild bereich ist ja ganz [mm] \IR. [/mm] Der Limes von ln(x) für x [mm] \rightarrow [/mm] 0 (von oben natürlich!) ist ja Minus Unendlich und der von x [mm] \rightarrow \infty [/mm] ist [mm] \infty. [/mm] Deswegen gibt es KEIN a, sodass ln(x) = a keine Lösung auf [mm] \IR [/mm] hat. [mm] \Rightarrow [/mm] die Aussage ist FALSCH. was mich nur ein bisschen stört, ist, dass dafür ja vorausgesetzt sein müsste, dass x [mm] \in \IR^+ [/mm] ist, weil sonst ist das Ganze ja nicht definiert, aber über das x steht nirgends ne Angabe / Einschränkung.
Die Exponentialfunktion dagegen hat einen beschränkten Bildbereich, nämlich (0, [mm] \infty). \Rightarrow [/mm] es GIBT ein a [mm] \in \IR, [/mm] nämlich JEDE beliebige negative oder a=0, sodass [mm] e^x [/mm] = a keine Lösung auf [mm] \IR [/mm] hat. [mm] \Rightarrow [/mm] Aussage 4 ist RICHTIG.
Damit ist auch die Aussage 1 RICHTIG, denn die Exponentialfunktion ist ja genauso auf [mm] \IC [/mm] definiert und hat dort den gleichen Wertebereich.
Fragt sich nur, was mit den Aufgaben 2 und 3 ist, die kann man doch nicht auf diese Weise lösen, oder??
lG
|
|
| |
|
Hallo!
> Es gibt a [mm]\in \IC,[/mm] sodass [mm]e^x[/mm] keine Lösung auf [mm]\IC[/mm] hat.
> Wahr oder Falsch?
> [mm]e^x[/mm] = ln(x) hat eine eindeutige Lösung auf [mm]\IR[/mm]
> [mm]e^x[/mm] = - ln (x) hat eine eindeutige Lösung auf [mm]\IR[/mm]
> Es gibt a [mm]\in \IR,[/mm] ssodass [mm]e^x[/mm] = a keine Lösung auf [mm]\IR[/mm]
> hat.
> Es gibt a [mm]\in \IR,[/mm] ssodass ln(x) = a keine Lösung auf [mm]\IR[/mm]
> hat.
Zu den Aufgaben 2 & 3:
Es macht keinen Sinn, das rechnerisch zu lösen, das geht nicht so ohne weiteres.
Du solltest dir für diese Aufgabe die Graphen von [mm] e^{x} [/mm] und [mm] \ln(x) [/mm] zur Hand nehmen.
[mm] e^{x} [/mm] ist außerdem Umkehrfunktion von [mm] \ln(x), [/mm] d.h. graphisch: [mm] e^{x} [/mm] an der Funktion f(x) = x gespiegelt ergibt [mm] \ln(x).
[/mm]
Du solltest dir (es reicht geometrisch) klar machen, dass [mm] e^{x} [/mm] bzw. [mm] \ln(x) [/mm] die Funktion f(x) = x aber nicht schneiden.
Was bedeutet das für die obige Gleichung?
Zu der Gleichung
[mm] e^{x} [/mm] = [mm] -\ln(x) [/mm] :
Mit der selben geometrischen Anschauung müsste es hier eine Lösung geben, sie sollte im Intervall [0,1] liegen und ist auch eindeutig.
> Bei den Aufgaben 1,4 und 5, müsste ich da nicht einfach
> schauen, ob die Exponential (bei Aufgabe 4) bzw. die
> Logarithmus- Funtkion auf [mm]\IR[/mm] beschränkt sind? Das ist
> bei der Logarithmus-Funktion nicht der Fall, ihr
> Defintionsbereich ist zwar nur [mm]\IR^+,[/mm] aber ihr Werte-bzw.
> Bild bereich ist ja ganz [mm]\IR.[/mm] Der Limes von ln(x) für x
> [mm]\rightarrow[/mm] 0 (von oben natürlich!) ist ja Minus Unendlich
> und der von x [mm]\rightarrow \infty[/mm] ist [mm]\infty.[/mm] Deswegen gibt
> es KEIN a, sodass ln(x) = a keine Lösung auf [mm]\IR[/mm] hat.
> [mm]\Rightarrow[/mm] die Aussage ist FALSCH. was mich nur ein
> bisschen stört, ist, dass dafür ja vorausgesetzt sein
> müsste, dass x [mm]\in \IR^+[/mm] ist, weil sonst ist das Ganze ja
> nicht definiert, aber über das x steht nirgends ne Angabe
> / Einschränkung.
Deine Überlegungen sind richtig; dass da nicht x > 0 steht, ist nicht schlimm, weil ja nach Lösungen für x gesucht ist. Dass der Ausdruck (und somit eine Lösung) erst für x > 0 Sinn macht, muss dir klar sein.
> Die Exponentialfunktion dagegen hat einen beschränkten
> Bildbereich, nämlich (0, [mm]\infty). \Rightarrow[/mm] es GIBT ein
> a [mm]\in \IR,[/mm] nämlich JEDE beliebige negative oder a=0,
> sodass [mm]e^x[/mm] = a keine Lösung auf [mm]\IR[/mm] hat. [mm]\Rightarrow[/mm]
> Aussage 4 ist RICHTIG.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Damit ist auch die Aussage 1 RICHTIG, denn die
> Exponentialfunktion ist ja genauso auf [mm]\IC[/mm] definiert und
> hat dort den gleichen Wertebereich.
Nanana...
Es ist die Frage, ob x auch aus [mm] \IC [/mm] sein darf (steht da nicht).
Dann hätte [mm] e^{x} [/mm] aber ganz andere Wertebereiche!
Wie dem auch sei, die Antwort ist trotzdem richtig, weil [mm] e^{x} [/mm] = 0 auch für kein [mm] x\in\IC [/mm] lösbar ist.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 28.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Hi Danke für die Antwort!
Ach verdammt, auf die Idee hätt ich echt auch selbst kommen können, einfach die Graphen anzuschauen und zu gucken, ob die sich schneiden. Es ist ja hier nicht mal nach dem WO gefragt, sondenr nur, ob ein Schnittpunkt existiert.
> [mm]e^{x}[/mm] ist außerdem Umkehrfunktion von [mm]\ln(x),[/mm] d.h.
> graphisch: [mm]e^{x}[/mm] an der Funktion f(x) = x gespiegelt ergibt
> [mm]\ln(x).[/mm]
> Du solltest dir (es reicht geometrisch) klar machen, dass
> [mm]e^{x}[/mm] bzw. [mm]\ln(x)[/mm] die Funktion f(x) = x aber nicht
> schneiden.
Hmmm, ja, das weiß ich ja eigentlich noch aus der Schule. Du meine Güte, schon krass wie man, wenn man mal paar Monate studiert überhaupt nicht mehr auf die Idee kommt, nach so (in dem Fall)einfachen/ anschaulichen Lösungen zu suchen!!!
> Was bedeutet das für die obige Gleichung?
>
Naja, das bedeutet natürlich, dass es keinen Schnittpunkt und somit keine eindeutige Lösung (bzw.:gar keine!) auf [mm] \IR [/mm] gibt. [mm] \Rightarrow [/mm] Aussagen 1 und 4 sind WAHR:
> Zu der Gleichung
>
> [mm]e^{x}[/mm] = [mm]-\ln(x)[/mm] :
>
> Mit der selben geometrischen Anschauung müsste es hier
> eine Lösung geben, sie sollte im Intervall [0,1] liegen
> und ist auch eindeutig.
>
Ja, weil ich ja dann die Logarithmusfunktion an der x-Achse spiegele (oder?) und sich die beiden Graphen deshalb (im Bereich [0,1]) schneiden.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hi Danke für die Antwort!
>
> Ach verdammt, auf die Idee hätt ich echt auch selbst
> kommen können, einfach die Graphen anzuschauen und zu
> gucken, ob die sich schneiden. Es ist ja hier nicht mal
> nach dem WO gefragt, sondenr nur, ob ein Schnittpunkt
> existiert.
Genau 
> > [mm]e^{x}[/mm] ist außerdem Umkehrfunktion von [mm]\ln(x),[/mm] d.h.
> > graphisch: [mm]e^{x}[/mm] an der Funktion f(x) = x gespiegelt ergibt
> > [mm]\ln(x).[/mm]
> > Du solltest dir (es reicht geometrisch) klar machen,
> dass
> > [mm]e^{x}[/mm] bzw. [mm]\ln(x)[/mm] die Funktion f(x) = x aber nicht
> > schneiden.
>
> Hmmm, ja, das weiß ich ja eigentlich noch aus der Schule.
> Du meine Güte, schon krass wie man, wenn man mal paar
> Monate studiert überhaupt nicht mehr auf die Idee kommt,
> nach so (in dem Fall)einfachen/ anschaulichen Lösungen zu
> suchen!!!
Das kommt wieder, keine Angst 
> > Was bedeutet das für die obige Gleichung?
> >
> Naja, das bedeutet natürlich, dass es keinen Schnittpunkt
> und somit keine eindeutige Lösung (bzw.:gar keine!) auf
> [mm]\IR[/mm] gibt. [mm]\Rightarrow[/mm] Aussagen 1 und 4 sind WAHR:
> > Zu der Gleichung
> >
> > [mm]e^{x}[/mm] = [mm]-\ln(x)[/mm] :
> >
> > Mit der selben geometrischen Anschauung müsste es hier
> > eine Lösung geben, sie sollte im Intervall [0,1] liegen
> > und ist auch eindeutig.
> >
> Ja, weil ich ja dann die Logarithmusfunktion an der x-Achse
> spiegele (oder?) und sich die beiden Graphen deshalb (im
> Bereich [0,1]) schneiden.
Genau, die Logarithmus-Funktion wird an der x-Achse gespiegelt. Dann entsteht ein Schnittpunkt, weil die Logarithmus-Funktion sozusagen eine "fast senkrechte" Schrank im Intervall [0,1] von [mm] \infty [/mm] bis 0 bildet, durch die die e-Funktion "durch muss".
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
