ln von e^x + e^-x auflösen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe folgende Funktion als Aufgabenstellung bekommen:
f(x)= a/2c *(e^(cx)+e^(-cx)) mit a,c >0
achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse hab ich noch leicht herausgekriegt, das das Minimum der Funktion a/c beträgt ebenfalls.
Nun war die Aufgabe, dass a und c so zu wählen sind, dass das Minimum y=5 beträgt und die Punkte (100,30) sowie (-100,30) auf der Funktion liegen.
das Minimum muss 5 sein, demnach ist a/c = 5
somit habe ich folgende Gleichung:
30 = 2.5 * (e^(100c) + e^(-100c))
hier forme ich also um auf
ln(12) = ln(e^(100c) + e^(-100c))
da beide Summanden sicher >0 sind darf ich noch umformen:
ln(12) = 100c + ln(1+ e^(-200c))
es gilt nach c aufzulösen, allerdings bekomme ich es einfach nicht aus dem ln heraus. Meine Versuche, die Summe als Produkt umzuschreiben haben leider auch nicht gefruchtet.
Könnt Ihr mir weiterhelfen, wie ich hier nach c auflöse?
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Hallo DorianGreen und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Habe folgende Funktion als Aufgabenstellung bekommen:
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> f(x)= a/2c *(e^(cx)+e^(-cx)) mit a,c >0
>
> achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse hab ich noch leicht
> herausgekriegt, das das Minimum der Funktion a/c beträgt
> ebenfalls.
ok ...
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> Nun war die Aufgabe, dass a und c so zu wählen sind, dass
> das Minimum y=5 beträgt und die Punkte (100,30) sowie
> (-100,30) auf der Funktion liegen.
> das Minimum muss 5 sein, demnach ist a/c = 5 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> somit habe ich folgende Gleichung:
>
> 30 = 2.5 * (e^(100c) + e^(-100c))
>
> hier forme ich also um auf
Ich würde den [mm]\ln[/mm] noch nicht loslassen auf die Gleichung:
Du hast [mm]e^{100c}+e^{-100c}=12[/mm]
Hier ist es ratsam, mit [mm]e^{100c}\neq 0[/mm] durchzumultiplizieren:
[mm]e^{200c}-12e^{100c}+1=0[/mm]
Nun ist [mm]e^{200c}=\left(e^{100c}\right)^2[/mm]
Du hast also eine quadratische Gleichung.
Substituiere der Einfachheit halber [mm]z:=e^{100c}[/mm] und löse [mm]z^2-12z+1=0[/mm] nach [mm]z[/mm] auf und resubstitueire am Ende die Lösungen ...
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> ln(12) = ln(e^(100c) + e^(-100c))
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> da beide Summanden sicher >0 sind darf ich noch umformen:
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> ln(12) = 100c + ln(1+ e^(-200c))
Stimmt zwar, ist aber nicht zielführend, die Summe im [mm]\ln[/mm] wirst du nicht gut los ...
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> es gilt nach c aufzulösen, allerdings bekomme ich es
> einfach nicht aus dem ln heraus. Meine Versuche, die Summe
> als Produkt umzuschreiben haben leider auch nicht
> gefruchtet.
> Könnt Ihr mir weiterhelfen, wie ich hier nach c
> auflöse?
Gruß
schachuzipus
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