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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - lösen einer DGL
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lösen einer DGL: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Mo 20.02.2006
Autor: Boggyman

Hallo
habe gerad mit dem Thema DGL's angefangen und hab schon ein problem. Ist eigentlich ganz einfach nur ich komm wieder mal nich auf die antwort

also ich hab die inhomogene DGL bereits in eine homogene gewandelt (was nicht sehr schwer ist ;o)

x*y'-y=0

umstellen und dann mit u=y/x  substituieren

dann komm ich auf  [mm] \integral_{}^{}{ du}=\integral_{}^{}{1/x dx} [/mm]


dann integrieren und als ergebniss hab ich y=k*x*ln(x)
k ist meine intergrationskonstante
laut lösung soll aber y=K*x  rauskommen

kann mir einer sagen was ich falsch mache

danke im vorraus

        
Bezug
lösen einer DGL: Warum Substitution?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mo 20.02.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Boggyman!


Warum hier substituieren? Umformen führt doch auf folgende Gleichung:

[mm] $\bruch{y'}{y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm]

[mm] $\blue{\integral}\bruch{dy}{y} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}\bruch{dx}{x}$ [/mm]

usw.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
lösen einer DGL: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:14 Mo 20.02.2006
Autor: Boggyman

ok danke
eigentlcih müsste durch substitution das selbe rauskommen aber egal mach ichs halt so

DANKE nochma

Bezug
        
Bezug
lösen einer DGL: Dein Weg mit Substitution
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:33 Di 21.02.2006
Autor: Roadrunner

Guten Morgen Boggyman!


Es klappt (natürlich) auch mit Deiner gewählten Substitution ... fiel mir aber erst heute Nacht ein, wie!


Allerdings hast Du wohl $du_$ falsch ermittelt. Denn hierfür musst Du die MBQuotientenregel anwenden:

$u \ = \  [mm] \bruch{y}{x}$ [/mm]


[mm] $\Rightarrow$ [/mm]   $u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y'*x-y*1}{x^2}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ $(\red{y'*x-y})*dx [/mm] \ = \ [mm] x^2*du$ [/mm]


Gemäß DGL gilt ja: [mm] $\red{y'*x-y} [/mm] \ = \ 0$

[mm] $\Rightarrow$ $x^2 [/mm] * du \ = \ [mm] \red{0} [/mm] * dx$

[mm] $\gdw$ $\blue{\integral}{1 \ du} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}{0 \ dx}$ [/mm]

[mm] $\gdw$ [/mm]   $u \ = \ c$


Und die Re-Substitution führt dann zur angegebenen Lösung.


Gruß vom
Roadrunner


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