lösen von gleichungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mi 12.01.2005 | | Autor: | netti |
hallo ihr!
Wie komme ich von der gleichung z³+3iz²-3z-9i=0 auf die werte -3i, [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Brauch ich dafür eine bestimme gleichung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
gruß netti
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Weiß nicht ob dir das was bringt, aber:
z³+3iz²-3z-9i=0 auf die werte z=-3i, z= [mm] \wurzel{3}
[/mm]
[mm] z^{3}+3iz^{2}-3z-9i=z^{3}+3iz^{2}+3zi^{2}+9i^{3}=0
[/mm]
Faenôl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Mi 12.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Nanett
Für Gleichungen dritten Grades gibt es schon Lösungsformeln. Sie sind aber recht aufwändig.
Eine andere Möglichkeit ist zu versuchen das Polynom auf der linken Seite zu faktorisieren.
Es fällt auf, dass in zwei Summande die imaginäre Einheit i auftritt und in zwei Summanden nicht.
Umgruppieren führt zu:
[mm] $z^3+3iz^2-3z-9i=z^3-3z+3iz-9i$
[/mm]
Jetzt will man natürlich ausklammern in jedem Teil.
[mm] $=z(z^2-3)+3i(z^2-3)=(z+3i)(z^2-3)$
[/mm]
Die Gleichung lässt sich daher schreiben als [mm] $(z+3i)(z^2-3)=0$.
[/mm]
Der Rest sollte jetzt (hoffentlich) klar sein 
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
Hallo, alle,
damit eine komplexe Zahl z=0 ist muß sowohl Im(z)=0 als auch Re(z)=0 gelten
damit
kommt man, seltsamerweise auch auf die falsche Lösung z=0,
und
auf die richtigen [mm] $\pm \sqrt{3}$,
[/mm]
aber
durch Polynomdivision (z³ + 3z²i - 3z - 9i) : (z² - 3) auch auf die 3te richtige
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Fr 14.01.2005 | | Autor: | moudi |
Dass eine komplexe Zahl genau dann Null ist, wenn Realteil und Imaginärteil Null ist, ist schon richtig. Nur nützt dass einem nicht viel. Denn daraus folgt nicht dass der Realteil von [mm] $z^3 [/mm] + 3z^2i - 3z - 9i$ gleich [mm] $z^3-3z$ [/mm] ist, da z selber eine komplexe Zahl ist. (Analog ist der Imaginärteil nicht [mm] $i(3z^2-9)$). [/mm] So habe ich deine Bemerkung aufgefasst, dass man "seltsamerweise auch auf die falsche Lösung z=0" kommt.
Das gilt nur, wenn z selber eine reelle Zahl ist. Man erhält also durch diese Ueberlegung nur die reellen Lösungen der Gleichung und diese Lösungen müssen gleichzeitig beide Gleichungen [mm] $z^3-3z=0$ [/mm] und [mm] $3z^2-9=0$ [/mm] erfüllen.
Da die ursprüngliche Gleichung tatsächlich reelle Lösungen hat, kommt man mit dieser Methode in diesem Fall weiter.
mfG Moudi
|
|
|
|
