log. Spirale < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 So 12.12.2004 | | Autor: | ratz |
Hallo Zusammen,
ich hab Probleme einen Artikel zu verstehen.
Es geht um die log. Spirale, die die Eigenschaft besitzt, das alle Geraden die durch den Pol die Kurve unter dem gleichen Winkel schneiden. In einem Buch wird nun versucht dies zu Beweisen. Und zwar mit der Differentiation in Polarkoordinaten. Dort heißt es:
Die Gleichung der logarithmischen Spirale ist $ r = [mm] a*e^{k*\phi} [/mm] $. Die Ableitung $ dy/dx $ ist:
$ [mm] \bruch [/mm] {dy} {dx} = [mm] \bruch {a*k*e^{k*\phi} *\sin\phi + a*e^{k*\phi} *\sin\phi} {a*k*e^{k*\phi} *\cos\phi - a*e^{k*\phi} *\cos\phi} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] { [mm] k*\sin\phi [/mm] + [mm] \cos\phi [/mm] } [mm] {k*\cos\phi - \sin\phi} [/mm] $
[Dateianhang nicht öffentlich]
Um den Winkel [mm] \tau [/mm] zwischen Tangente und Ortsvektor zu berechnen, entnimmt man der beigefügten Abbildung die Bezeichnung $ [mm] \tau [/mm] = [mm] \alpha [/mm] - [mm] \phi [/mm] $ und somit
$ [mm] \tan \tau [/mm] = [mm] \tan(\alpha-\phi) [/mm] = [mm] \bruch [/mm] { [mm] \tan\alpha-\tan\phi} {1+\tan\alpha*\tan\phi } [/mm] = [mm] \bruch [/mm] { [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] - [mm] \tan\phi [/mm] } {1 + [mm] \bruch [/mm] {dy} [mm] {dx}*\tan\phi [/mm] } = [mm] \bruch {y'*\cos\phi - \sin\phi } {y'*\sin\phi+\cos\phi} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] { r } { r' }$
wobei sich die letzte Gleichung au der Regel für die Ableitung einer Funktion in Polarkoordinaten durch Auflösen nach $ { r [mm] \br [/mm] r'} $ ergibt. Wendet man das Ergebnis auf die log. Spirale an, so erhält man
$ [mm] \tan\tau [/mm] = [mm] \bruch [/mm] { [mm] a*e^{k*\phi}} {a*k*e^{k*\phi} } [/mm] = [mm] \bruch [/mm] { 1 } {k} $.
Das bedeutet, daß die log. Spirale alle Radiusvektoren unter dem gleichen Winkel [mm] $\tau [/mm] = [mm] \arctan \bruch [/mm] {1} {k} $ schneidet.
so ich versteh jetzt nicht so ganz, warum $ [mm] \tan \alpha [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {dy}{dx} $ sein soll.
Außerdem ist mir nicht so ganz klar, warum
$ [mm] \bruch {y'*\cos\phi - \sin\phi } {y'*\sin\phi+\cos\phi} [/mm] = [mm] \bruch [/mm] { r } { r' }$
gilt!?!
und für was ich eigentlich den Ansatz der Ableitung von Polarkoordinaten brauche, den verwende ich doch sonst nicht mehr oder???
lg steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Hallo,
es ist
[mm]\tan \left( \alpha \right)\; = \;\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \;\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\; = \;\frac{{dy}}{{dx}} [/mm]
zu dem anderen Verständnisproblem:
[mm]\frac{{dy}}{{dx}}\; = \;\frac{{r_\Phi \;\sin \left( \Phi \right)\; + \;r\;\cos \left( \Theta \right)}}{{r_\Phi \;\cos \left( \Phi \right)\; - \;r\;\sin \left( \Theta \right)}}[/mm]
Löse diese Gleichung nach [mm]\bruch{r}{r_\Phi}[/mm] auf, und Du
erhältst die genannte Gleichung.
Gruss
MathePower
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