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| Aufgabe | | Wann ist [mm] log_{n} [/mm] r, r>0 rational, 1<n [mm] \in \IN, [/mm] eine rationale Zahl? |
Hallöchen,
kann mir jemand zur obiger Aufgabe irgendeinen Tipp geben? Ich finde nicht den geringsten Ansatz und weiß deswegen leider nicht in welche Richtung ich denken soll. Ich wäre schon über ein Schlagwort oder so dankbar.
LG
Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
> Wann ist [mm]log_{n}[/mm] r, r>0 rational, 1<n [mm]\in \IN,[/mm] eine
> rationale Zahl?
> Hallöchen,
>
> kann mir jemand zur obiger Aufgabe irgendeinen Tipp geben?
> Ich finde nicht den geringsten Ansatz und weiß deswegen
> leider nicht in welche Richtung ich denken soll. Ich wäre
> schon über ein Schlagwort oder so dankbar.
>
Setze so an:
[mm]\log_{n}\left(r\right)=\bruch{p}{q}, \ p \in \IZ, \ q \in \IN[/mm]
und löse nach r auf.
> LG
> Schmetterfee
Gruss
MathePower
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Hallöchen
>
> Setze so an:
>
> [mm]\log_{n}\left(r\right)=\bruch{p}{q}, \ p \in \IZ, \ q \in \IN[/mm]
>
> und löse nach r auf.
>
>
erstmal danke für den Tipp. Der hat mich schon weiter gebracht aber ich kann die Aufgabe immer noch nicht ganz lösen.
Ich habe bis jetzt folgendes:
[mm] log_{n} [/mm] (r)= [mm] \bruch{log (r)}{log (n)}= \bruch{p}{q}
[/mm]
Dann erhalte ich:
r=n [mm] e^{\bruch{p}{q}}
[/mm]
Nun will ich zeigen, dass r rational ist. Sprich ich muss zeigen dass die rechte Seite rational ist oder viel mehr, dass es [mm] e^{\bruch{p}{q}} [/mm] ist. Da hakt es aber irgendwie noch.
Mir gelingt kein Beweis formal ist aber klar dass e irrational ist und somit auch jede Potenz von e. Außer für [mm] e^{0} [/mm] da ist sie rational. Also muss p den Wert 0 annehmen und q kann jeden beliebigen Wert annehmen. aber wie kann ich das formal zeigen?
Kann mir da bitte noch jemand einen Tipp geben?
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
> Ich habe bis jetzt folgendes:
>
> [mm]log_{n}[/mm] (r)= [mm]\bruch{log (r)}{log (n)}= \bruch{p}{q}[/mm]
>
> Dann erhalte ich:
> r=n [mm]e^{\bruch{p}{q}}[/mm]
Nein. Du erhältst [mm] r=n^{\bruch{p}{q}}
[/mm]
> Nun will ich zeigen, dass r rational ist. Sprich ich muss
> zeigen dass die rechte Seite rational ist oder viel mehr,
> dass es [mm]e^{\bruch{p}{q}}[/mm] ist. Da hakt es aber irgendwie
> noch.
>
> Mir gelingt kein Beweis formal ist aber klar dass e
> irrational ist und somit auch jede Potenz von e.
Diese Folgerung stimmt nicht. Immerhin ist [mm] e^{\ln{2}}=2 [/mm] und [mm] e^{\ln{3}-\ln{7}}=\bruch{3}{7} [/mm] etc.
So. Zurück zur Sache. Was war doch gleich zu zeigen?
Verwurste das mal in der korrigierten Gleichung oben.
Grüße
reverend
> Außer
> für [mm]e^{0}[/mm] da ist sie rational. Also muss p den Wert 0
> annehmen und q kann jeden beliebigen Wert annehmen. aber
> wie kann ich das formal zeigen?
>
> Kann mir da bitte noch jemand einen Tipp geben?
>
> LG Schmetterfee
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Hallöchen
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> Nein. Du erhältst [mm]r=n^{\bruch{p}{q}}[/mm]
>
Stimmt. wie sich das e beim Umfromen einschleichen konnte ist mir schleierhaft.
Ich weiß aber leider nicht wie mich diese Umformung nach r weiter bringt. Denn ich weiß ja das r rational ist, will aber ermitteln wann [mm] log_{n} [/mm] (r) rational ist.
Muss ich jetzt nachweisen wann dieses r rational ist? Bin etwas verwirrt:-(
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
> > Nein. Du erhältst [mm]r=n^{\bruch{p}{q}}[/mm]
> >
> Stimmt. wie sich das e beim Umfromen einschleichen konnte
> ist mir schleierhaft.
Nicht tragisch - man kanns ja auch mit e schreiben, aber dann anders.
> Ich weiß aber leider nicht wie mich diese Umformung nach r
> weiter bringt. Denn ich weiß ja das r rational ist, will
> aber ermitteln wann [mm]log_{n}[/mm] (r) rational ist.
>
> Muss ich jetzt nachweisen wann dieses r rational ist? Bin
> etwas verwirrt:-(
Hier ist doch schon die Annahme verwurstet, dass [mm] \log_n{r}=\bruch{p}{q} [/mm] ist, also rational.
Nächster Schritt:
[mm] r^q=n^p
[/mm]
Wenn es nun bei gegebenem n solche r,p,q gibt, dass die Gleichung erfüllt ist, dann ist [mm] \log_n{r} [/mm] rational.
Grüße
reverend
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Hallöchen
>
> Hier ist doch schon die Annahme verwurstet, dass
> [mm]\log_n{r}=\bruch{p}{q}[/mm] ist, also rational.
>
> Nächster Schritt:
>
> [mm]r^q=n^p[/mm]
>
> Wenn es nun bei gegebenem n solche r,p,q gibt, dass die
> Gleichung erfüllt ist, dann ist [mm]\log_n{r}[/mm] rational.
>
Muss ich denn nun auch noch zeigen, dass es solche r,p,q gibt oder ist die Aufgabe bereits mit dieser Argumentation vollständig gelöst?
LG Schmetterfee
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Hallo nochmal,
> > Hier ist doch schon die Annahme verwurstet, dass
> > [mm]\log_n{r}=\bruch{p}{q}[/mm] ist, also rational.
> >
> > Nächster Schritt:
> >
> > [mm]r^q=n^p[/mm]
> >
> > Wenn es nun bei gegebenem n solche r,p,q gibt, dass die
> > Gleichung erfüllt ist, dann ist [mm]\log_n{r}[/mm] rational.
> >
> Muss ich denn nun auch noch zeigen, dass es solche r,p,q
> gibt oder ist die Aufgabe bereits mit dieser Argumentation
> vollständig gelöst?
Nein, ganz gelöst ist sie noch nicht.
Noch ist [mm] r\in\IQ, p,q\in\IZ [/mm] und [mm] q\not=0 [/mm] (oder, wenn Du willst, p oder q schon in [mm] \IN) [/mm] und [mm] n\in\IN.
[/mm]
Das ist ja noch ein ziemliches Sammelsurium.
Du solltest wenigstens eine Gleichung finden, in der alle Variablen aus [mm] \IZ [/mm] stammen, ggf. eben [mm] \IZ^+=\IN.
[/mm]
Dann kannst Du eine klare Bedingung für r finden, so dass [mm] \log_n{r} [/mm] rational ist.
Ersetze also noch [mm] r=\bruch{s}{t}. [/mm] Aber ansonsten bist Du fast fertig.
Gib ein Beispiel für r mit rationalem, aber nicht ganzzahligem [mm] \log_n{r} [/mm] an. Das n dafür kannst Du Dir selbst aussuchen. 
Grüße
reverend
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Hallöchen
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>>
> Nein, ganz gelöst ist sie noch nicht.
> Noch ist [mm]r\in\IQ, p,q\in\IZ[/mm] und [mm]q\not=0[/mm] (oder, wenn Du
> willst, p oder q schon in [mm]\IN)[/mm] und [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> Das ist ja noch ein ziemliches Sammelsurium.
> Du solltest wenigstens eine Gleichung finden, in der alle
> Variablen aus [mm]\IZ[/mm] stammen, ggf. eben [mm]\IZ^+=\IN.[/mm]
>
> Dann kannst Du eine klare Bedingung für r finden, so dass
> [mm]\log_n{r}[/mm] rational ist.
>
> Ersetze also noch [mm]r=\bruch{s}{t}.[/mm] Aber ansonsten bist Du
> fast fertig.
Irgendwie sehe ich das denn trotzdem noch nicht, dann habe ich
[mm] (\bruch{s}{t})^{q}=n^{p}
[/mm]
aber das liefert mir ja trotzdem nix für mein r
>
> Gib ein Beispiel für r mit rationalem, aber nicht
> ganzzahligem [mm]\log_n{r}[/mm] an. Das n dafür kannst Du Dir
> selbst aussuchen.
>
Ich finde nur irgendwie kein Beispiel. Egal was ich hin und her rechne und plotte es ist immer irrational:(
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Do 03.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
fang an damit, [mm] log_n(r)=log_n(\bruch{a}{b}=log_n(a)-log_n(b)
[/mm]
also müssen beide rational sein!
damit hast du nur noch das Problem [mm] a\in \IN [/mm] und dasselbe für b.
also musst du nur lösen wann ist [mm] n^{p/q} [/mm] eine natürliche Zahl
a) für q=1
b) für n=?
Gruss leduart
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Hallöchen
> fang an damit,
> [mm]log_n(r)=log_n(\bruch{a}{b}=log_n(a)-log_n(b)[/mm]
> also müssen beide rational sein!
> damit hast du nur noch das Problem [mm]a\in \IN[/mm] und dasselbe
> für b.
> also musst du nur lösen wann ist [mm]n^{p/q}[/mm] eine natürliche
> Zahl
> a) für q=1
immer, weil n eine natürliche Zähl ist und eine natürliche Zahl bleibt auch p mal mit sich selbst multipliziert noch eine natürliche Zahl.
> b) für n=?
wie für n? ich weiß ja das n ne natürliche Zahl ist. aber deswegen muss [mm] n^{\bruch{p}{q}} [/mm] immer noch keine natürliche Zahl sein. da bin ich ja wieder am anfang meines Problemes.
Ich weiß [mm] n^{\bruch{p}{q}} [/mm] ist natürliche Zahl für p=q und für q|p
aber was ist für die Fälle p|q und p teilt nicht q?
ich habe irgendwie das Gefühl das ich mich nur im Kreis drehe:-(
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Do 03.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] n^{1/q} [/mm] ist nur eine natürliche Zahl, wenn [mm] n=m^{k*q} m\in \I n^{1/q}=m^k
[/mm]
also hast du jetzt a muß die Form [mm] a=m^{p*q} [/mm] haben da auch b aus N ist muss es dieselbe Form haben. nur das k kann verschieden sein.
damit hast du welche r für ein gegebenes n vorkommen
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Hallöchen
also langsam glaube ich einfach, dass ich für die Aufgabe zu blöd bin. Denn ich verstehe es nicht egal wie ich es drehe und wende.
Ich habe am Anfang verstanden, dass ich das umformen muss usw.
dann war ich bei
[mm] r=n^{\bruch{p}{q}}
[/mm]
und ab da verstehe ich die Argumentation nicht warum ich was machen soll. Ich weiß ja das r rational ist, deswegen verstehe ich nicht wie mir die obige Form hilft. Ich verstehe nicht wie ich dann plötzlich hier:
> [mm]n^{1/q}[/mm] ist nur eine natürliche Zahl, wenn [mm]n=m^{k*q} m\in \I n^{1/q}=m^k[/mm]
>
zeigen soll, dass die rechte seite eine natürliche Zahl ist. Was hast das denn damit zu tun das der Logarithmus rational ist?
> also hast du jetzt a muß die Form [mm]a=m^{p*q}[/mm] haben da auch
> b aus N ist muss es dieselbe Form haben. nur das k kann
> verschieden sein.
woher kommt denn jetzt plötzlich die Form für a und warum für b identisch? Was für verschiedene k? Da sind doch gar keine k.
> damit hast du welche r für ein gegebenes n vorkommen
>
und was nützt mir das wenn ich weiß was für r vorkommen? dann habe ich ja immer noch nicht gezeigt für welche r dieser [mm] log_{n} [/mm] (r) rational ist.
Ich habe irgendwie Gefühl nicht wirklich gezeigt zu haben was ich zeigen sollte. Mag es mir bitte nochmal jemand erklären?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Do 03.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest $ [mm] r=n^{\bruch{p}{q}} [/mm] $
also [mm] (n^{1/q})^p
[/mm]
also muss [mm] n^{1/q} [/mm] eine rationale Zahl sein, alle Wurzeln aus ganzen zahlen sind aber nur rational wenn sie q te potenzen einer natürlichen Zahl sind. also muss [mm] n=m^q [/mm] oder natürlich [mm] m^{k*q} [/mm] sind
das setzt natürlich voraus, dass die Irratioalität von Wurzeln bekannt ist.
Folgst du mir soweit?
Falls p/q negativ ist gilt das argument für 1/n und damit wieder für n
Gruss leduart
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Hallöchen,
danke für diese ausführlichen Erklärungen jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank.
LG Schmetterfee
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