logarithmische Differentiation < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Di 24.01.2012 | | Autor: | Stuck |
| Aufgabe | | y= [mm] x^{sinx} [/mm] |
Hallo!
nun bin ich auch bei der logarithmischen differentiation angekommen und versteh die genau vorgehensweise nicht.
Die Aufgabe oben ist eine Beispielaufgabe aus einem Mathebuch, dazu wurden die einzelnen Schritte erklärt:
Zuerst logarithmieren: lny= [mm] lnx^{sinx} [/mm] = sinx*lnx
-> das kann ich soweit noch nachvollziehn.
Dann soll die Gleichung differenziert werden. Rechts Kettenregel (Warum wird hier die Kettenregel angewendet? Was ist denn hier die äußere und innere Funktion?) Links soll dann mit Produktregel differenziert werden. (auch soweit ok)
Würde ich jetzt sinx*lnx mit der Produktregel differenzieren würde da doch das raus kommen: [mm] cosx*lnx*sinx*\bruch{1}{x}
[/mm]
darauß macht das buch dann noch [mm] \bruch{x*cosx*lnx+sinx}{x}
[/mm]
warum das? was macht das x da oben? es ist doch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] warum wird darauß [mm] \bruch{x}{x} [/mm] ?!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Di 24.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> y= [mm]x^{sinx}[/mm]
> Hallo!
>
> nun bin ich auch bei der logarithmischen differentiation
> angekommen und versteh die genau vorgehensweise nicht.
>
> Die Aufgabe oben ist eine Beispielaufgabe aus einem
> Mathebuch, dazu wurden die einzelnen Schritte erklärt:
>
> Zuerst logarithmieren: lny= [mm]lnx^{sinx}[/mm] = sinx*lnx
>
> -> das kann ich soweit noch nachvollziehn.
>
> Dann soll die Gleichung differenziert werden. Rechts
> Kettenregel (Warum wird hier die Kettenregel angewendet?
> Was ist denn hier die äußere und innere Funktion?) Links
links muss die Kettenregel angewendet werden. Warum? - Weil es eine verkettete Funktion ist: [mm] $g(x)=\ln [/mm] y(x)$
Das muss nach x abgeleitet werden.
y ist die innere Funktion, welche ist dann die Äußere?
> soll dann mit Produktregel differenziert werden. (auch
> soweit ok)
Rechts brauchst Du die Produktregel.
>
> Würde ich jetzt sinx*lnx mit der Produktregel
> differenzieren würde da doch das raus kommen:
> [mm]cosx*lnx*sinx*\bruch{1}{x}[/mm]
Nein, in die Mitte gehört ein Pluszeichen.
>
> darauß macht das buch dann noch
> [mm]\bruch{x*cosx*lnx+sinx}{x}[/mm]
Das sieht schon besser aus.
>
> warum das? was macht das x da oben? es ist doch
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] warum wird darauß [mm]\bruch{x}{x}[/mm] ?!
Beachte das erwähnte +, dann wirds Dir klar.
Eine andere Möglichkeit ist, das hier abzuleiten:
[mm] $f(x)=x^{\sin x}=(e^{\ln x})^{\sin x}=e^{\ln x\cdot\sin x}$
[/mm]
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Di 24.01.2012 | | Autor: | Stuck |
Danke, aber ganz klar ist mir das immer noch nicht....
Die innere Ableitung ist y? jetzt versteh ich gar nichts mehr.... ich dachte die Gleichung ist lny(x) ?
Hab die Ableitung der rechten Seite falsch abgeschrieben. natürlich kommt da ein Plus hin. Aber warum das x dann nach da oben kommt versteh ich trotzdem nicht... was wurde da genau gemacht? ich glaub ich hab grad ein dickes brett vorm kopf...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Di 24.01.2012 | | Autor: | notinX |
> Danke, aber ganz klar ist mir das immer noch nicht....
>
> Die innere Ableitung ist y? jetzt versteh ich gar nichts
Nein, die innere Funktion ist $y(x)$.
> mehr.... ich dachte die Gleichung ist lny(x) ?
Das ist keine Gleichung, sondern der Term auf der linken Seite. Äußere Fkt. ist der Logarithmus und Innere ist $y(x)$.
>
> Hab die Ableitung der rechten Seite falsch abgeschrieben.
> natürlich kommt da ein Plus hin. Aber warum das x dann
> nach da oben kommt versteh ich trotzdem nicht... was wurde
> da genau gemacht? ich glaub ich hab grad ein dickes brett
> vorm kopf...
Der gemischte Term wurde auf einen Bruchstrich gebracht:
[mm] $a+\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 24.01.2012 | | Autor: | Stuck |
| Aufgabe | | [mm] x^{lnx} [/mm] |
was mach ich denn mit so einer Aufgabe? Kann man überhaupt den logarithmus logarithmieren? wohl eher nicht oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Di 24.01.2012 | | Autor: | notinX |
> [mm]x^{lnx}[/mm]
> was mach ich denn mit so einer Aufgabe? Kann man
> überhaupt den logarithmus logarithmieren? wohl eher nicht
> oder?
>
>
Der gleiche Trick wie zuvor:
[mm] $x^{\ln x}=(e^{\ln x})^{\ln x}=e^{\ln^2 x}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 24.01.2012 | | Autor: | Stuck |
Okay, wenn man die funktion dann ableitet muss man die Kettenregel anwenden oder? Was ist die Ableitung von [mm] ln^2(x) [/mm] ? [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] ?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Okay, wenn man die funktion dann ableitet muss man die
> Kettenregel anwenden oder? Was ist die Ableitung von
> [mm]ln^2(x)[/mm] ? [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] ?!
[mm] $\ln^2(x)$ [/mm] ist [mm] $(\ln [/mm] x) [mm] \cdot (\ln [/mm] x)$. Du kannst hier also die Produktregel verwenden.
Wenn du [mm] $\ln^2(x) [/mm] = [mm] (\ln x)^2$ [/mm] schreibst, kannst du aber auch die Kettenregel verwenden; die innere Funktion ist $x [mm] \mapsto \ln [/mm] x$, und die aeussere Funktion ist $x [mm] \mapsto x^2$.
[/mm]
LG Felix
|
|
|
|
