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| Aufgabe | Diskutieren sie die Funktionenschar zu [mm]f(x)=k^2*ln(x)+(1-k^2)*1/x[/mm].
Ermitteln sie dabei auch Ortskurven von Hoch-und Wendepunkten. |
Hallo,
dies ist mein erster Beitrag hier. Ich habe schon nach ähnlichen Aufgaben gefunden, aber diese spezielle Aufgabe leider nicht gefunden. Da es sich aber nicht um eine allgemeine Fragestellung handelt, hoffe ich hier um Hilfe:
Die obrige Aufgabenstellung habe ich von meiner Mathe-Lehrerin erhalten und soll die am PC ausarbeiten. Ich scheitere aber schon an den normalerweise einfachsten Sachen, den Nullstellen. Ich habe die Aufgabe schon mit Freunden besprochen, die ebenfalls nicht wussten, wie hier vorzugehen ist. Folgende Schritte habe ich neben anderen versucht:
[mm]f(x)=k^2*ln(x)+(1-k^2)*1/x=0[/mm]
[mm]f(x)=k^2*ln(x)=-(1-k^2)*1/x[/mm]
[mm]f(x)=ln(x)*x=1-1/k^2[/mm]
Das kann ich jetzt nach den Logarithmussätzen zu [mm]ln(x^x)[/mm] umformen und dann zu [mm]x^x[/mm], aber das hilft mir leider auch nicht weiter. Ich habe bereits den Term in Mupad eingegeben, aber die Lösung verstehe ich nicht (mein Schulwissen reicht hier nicht). Gefunden habe ich aber ein W in der Lösung, was ich zur LambertW-Funktion (Wikipedia..) zuordnen kann. Da es sich bei der Aufgabe aber um eine Vorbereitung fürs Abi handelt, kann ich mir nicht vorstellen, dass das passt.
Ich hoffe mir kann jemand helfen, da ich das auch nicht einfach weglassen kann (ich muss es ja abgeben) und mir Extrempunkte und Wendepunkte nicht leichter erscheinen.
Vielen Dank schonmal!!!
P.s.:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:35 Di 22.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo maja
> Diskutieren sie die Funktionenschar zu
> [mm]f(x)=k^2*ln(x)+(1-k^2)*1/x[/mm].
> Ermitteln sie dabei auch Ortskurven von Hoch-und
> Wendepunkten.
> Hallo,
>
Folgende Schritte habe ich neben anderen
> versucht:
>
> [mm]f(x)=k^2*ln(x)+(1-k^2)*1/x=0[/mm]
du darfst in der nächstn Zeile sicher nicht mehr f(x) schreiben!
also nur
[mm] k^2*ln(x)=-(1-k^2)*1/x
[/mm]
und du hast recht zu verzweifeln! für Gleichungen der form ax=lnx oder a/x=lnx
gibt es keine "Formel , um sie aufzulösen. nur für spezielle k numerische Verfahren (wenn ihr das newtonverfahren hattet)
[mm] k^2*ln(x)=-(1-k^2)*1/x
[/mm]
Das einzige was du machen kannst ist das für bestimmte k zu untersuchen.
1. Def.Gebiet der fkt ist x>0 also ist 1/x immer positiv.
Fallunterscheidung: [mm] k^2<1 [/mm] rechte Seite negativ, damit die linke auch neg ist muss 0<x<1 sein. damit weisst du in welchem Bereich die Nullstelle lieg.
[mm] k^2=1 [/mm] lnx=0 x=1
[mm] k^2>1 [/mm] die Nullstelle liegt bei x>1, denn die rechte Seite ist pos, also muss die linke auch pos sein. bei x=1 ist die linke Seite 0, die rechte also grösser als die linke. da lnx wächst und 1/x fällt sind sie sicher irgendwo gleich, d.h. es gibt eine nullstelle. mehr kriegst du nicht raus.( Alle Nst liegen zwischen x=1 und x=2
Dann musst du halt die anderen Aufgabenteile lösen!
Extrempkt und Wendpkt sind viel leichter, weil in der Ableitung kein ln mehr ist!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Di 22.01.2008 | | Autor: | biene_maja |
Hallo,
vielen Dank für die ausführliche Antwort. Da bin ich doch beruhigt, dass es hier keine eindeutigen Lösungen gibt. Verstehe zwar dann nicht den Sinn als Wiederholung aber okay. Das f(x) sollte da gar nicht stehen, hab wohl bei den Formeln irgendwas falsch eingegeben.
Die Ableitungen machens natürlich einfacher, da hab ich den Wald vor lauter Bäumen gar nicht mehr gesehen... Auf jeden fall vielen Dank, das bringt mich weiter!!!
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Hallo,
ich habe mich jetzt weiter an die Funktion gemacht und stoße auf Probleme. Ich habe mir einige Funktionen skizzieren lassen und alle zeigen auf den ersten Blick keinerlei Extremstellen oder Wendestellen. Dies ist aber doch ein wichtiger Punkt der Diskussion und vor allem macht mir dann die explizite Frage nach den Ortskurven Sorge.
Ich habe als 1. Ableitung
[mm]k²/x-(1-k²/x²)[/mm].
Wenn ich das nach x umstelle erhalte ich [mm]x= -1+1/k²[/mm]. Das ist aber für jedes k negativ (mit Ausnahme von 0 und 1). Da der Definitionsbereich aber >0 ist (wegen ln(x)) bin ich mir nicht sicher, was ich mit dem Ergebnis anfangen soll. Verrechnet habe ich mich nicht (hoffe ich), auch Mupad gibt mir für die Nullstellen der 1. Ableitung bei jedem k negative Werte.
Für die 2. Ableitung, also die Wendestellen, gilt leider das gleiche. Auch hier negative Werte.
Tut mir leid, dass ich mit dieser Aufgabe solche Probleme habe aber irgendwie sieht die immer leichter aus, als es sich hinterher herausstellt.
Vielen Dank nochmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Mi 23.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
>Ich habe als 1. Ableitung
>$ k²/x-(1-k²/x²) $.
Da ist ein Schreib oder Rechenfehler:
$f'=k²/x-(1-k²)/x²) $.
f'=0 $k²/x=(1-k²/x²) $. [mm] x=(1-k^2)/k^2 [/mm] positiv für [mm] k^2<1 [/mm] also gibts nur dafür waagerechte Tangenten.
Zur 2. Mitteilung.
Der Schnittpunkt muss ja für verschiedene k, also k1 und k2 gelten.
setz ein, fasse alle Terme mit [mm] lnx_s [/mm] zusammen und die mit [mm] 1/x_s
[/mm]
dann kürzen sich die k raus und du hast ne Gleichung für [mm] x_s. [/mm] die kannst du zwar nicht lösen, aber wieder zeigen, dass sie ne Lösung hat, damit hast du einen Schnittpkt bewiesen, nur seine Koordinaten kennst du nicht explizit.
Gruss leduart
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Hallo,
ich stelle gleich parallel eine Frage, da mir etwas neues aufgefallen ist. Laut Skizzen scheinen alle Graphen einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Um das zu beweisen weiß ich, dass ich den Parameter ändern und dann die Schar(en) gleichsetzen muss. Soweit so gut. Jetzt habe ich aber ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und weiß gerade gar nicht, was ich da zu tun habe. Wonach muss ich auflösen und warum?? Finde dazu leider im Internet auch nichts..
Dankeschön!!!
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