logistisches Wachstum < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 So 23.01.2011 | | Autor: | Yujean |
| Aufgabe | Der belgische Mathematiker Pierre-Francois Verhulst entwickelte das Modell des logistischen Wachstums aus den Bevölkerungsdaten der USA in den Jahren 1790 bis 1840: Zu Beginn der Beobachtung (1790) betrug die Bevölkerung 3,9 Mio. Aus den weiteren Daten wurde eine Grenze von 200 Mio. und einWachstumsfaktor [mm] k=1,589\*10^{-10} [/mm] ermittelt.
Berechnen Sie die damit prognostizierten Bevölkerungsdaten und vergleichen Sie diese mit den gezählten Werten.
Jahr: 1790 1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920
Einwohner (Mio): 3,9 5,3 9,6 17,1 31,4 50,2 76,0 106,5 |
Hallo,
Ich habe nicht wirklich eine Ahnung, wie ich vorgehen soll. Deshalb hätte ich gerne ein paar Denkanstöße, die mich in die richtige Richtung bringen könnten.
Danke
Yujean
|
|
| |
|
Hallo,
hier ein paar Denkanstöße: Schau dir mal genau an, wie die Funktion für das Logistische Wachstum aussieht und mache dir klar, was die einzelnen Parameter bedeuten. Du wirst sehen, dass selbstverständlich der Anfangsbestand, in deinem Fall 3,9 Mio Menschen, sowie eine Schranke S= 200Mio. eine Rolle spielen.
Du hast eigentlich alles gegeben um eine solche Funktion dann aufzustellen. Dein Wachstum hängt dann noch von der Variablen t, der Zeit, ab. Somit kannst du dein Jahr, in dem es 3,9 Mio. Menschen gab als Zeitnullpunkt setzen. Für die Jahre x nach 1790, erhälst du dann logischerweise die Zeitspanne x-1790, also für das Jahr 1800 beispielsweise t=1800-1790=10...Wenn du t für die jeweils gesuchte Jahreszahl einsetzt, bekommst du durch deine aufgestellte Funktion Werte für die Einwohnerzahl...So und die kannst du ja jetzt wunderbar mit den gezählten Werten, die du da hast, vergleichen!
Hoffe, das hilft dir ein wenig?!
Gruß und viel Erfolg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 So 23.01.2011 | | Autor: | Yujean |
Ich habe diese Funktion fürs logistische Wachstum:
[mm] f(t)=\bruch{G}{1+(\bruch{G}{f_{0}}-1)e^-kGt}
[/mm]
G=200.000.000
[mm] k=1,589\*10^-10
[/mm]
das t ist ja von den Jahren immer unterschiedlicher, aber was zur Hölle ist [mm] f_{0}?
[/mm]
ist [mm] f_{0} [/mm] vielleicht 3,9Mio?
|
|
|
| |
|
> Ich habe diese Funktion fürs logistische Wachstum:
>
> [mm]f(t)=\bruch{G}{1+(\bruch{G}{f_{0}}-1)e^-kGt}[/mm]
>
> G=200.000.000
> [mm]k=1,589\*10^-10[/mm]
>
> das t ist ja von den Jahren immer unterschiedlicher, aber
> was zur Hölle ist [mm]f_{0}?[/mm]
>
> ist [mm]f_{0}[/mm] vielleicht 3,9Mio?
Ja, natürlich. Eigentlich könnte (sollte?) man statt
[mm] f_0 [/mm] mit dem Index einfach f(0) schreiben. Dann wäre
das Ganze etwas klarer, weil ja auf der linken Seite
der Gleichung auch f(t) steht und nicht [mm] f_t [/mm] !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 23.01.2011 | | Autor: | Yujean |
Ok, wenn ich die Zahlen jetzt aber einsetze, zum Beispiel so:
[mm] f(1820)=\bruch{200}{1+(\bruch{200}{3,9}-1)e^-1,589\*10^-10\*200\*30}
[/mm]
dann kommt immer ungefähr 3,9Mio raus....
nur leider weiß ich nicht woran es liegt.
|
|
|
| |
|
> Ok, wenn ich die Zahlen jetzt aber einsetze, zum Beispiel
> so:
>
> [mm]f(1820)=\bruch{200}{1+(\bruch{200}{3,9}-1)e^{-1,589*10^{-10}*200*30}[/mm]
>
> dann kommt immer ungefähr 3,9Mio raus....
> nur leider weiß ich nicht woran es liegt.
Du musst die wirklichen Bevölkerungszahlen nehmen,
also G=200'000'000 und f(0)=3'900'000 und nicht
G=200 und f(0)=3.9 !
(wenn du mit Millionen rechnen möchtest, müsstest
du den k-Wert auch entsprechend anpassen)
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 So 23.01.2011 | | Autor: | Yujean |
Ok habe es, vielen Dank :)
|
|
|
|
