lokal-endliche überdeckung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Seien X ein topologischer Raum, [mm] (U_{i})_{i\in I} [/mm] eine lokal-endliche Überdeckung von X und [mm] f:I\to [/mm] J eine beliebige Abbildung. Zeigen Sie, dass dann [mm] (\bigcup_{i \in f^{-1}(j)}U_{i})_{j\in J} [/mm] auch eine lokal-endliche Überdeckung von X ist.
b) Seien M eine verallgemeinerte differenzierbare Mannigfaltigkeit und [mm] (U_{i})_{i\in I} [/mm] eine lokal-endliche Überdeckung von M. Zeigen Sie, dass es dann eine untergeordnete Zerlegung [mm] (\varphi_{i}:M\to\IR)_{i \in I} [/mm] (über derselben Indexmenge I) gibt.
Bem.: Wir hatten bereits gesehen, dass es diese Zerlegung gibt, sofern alle [mm] U_{i} [/mm] relativ kompakt und in einem Kartengebiet enthalten sind. Verfeinern Sie die Überdeckung, sodass das bekannte Resultat eine Partition der Eins liefert und wenden Sie dann das Auswahlaxiom sowie die vorige Aufgabe an.
c) Beweisen Sie die glatte Version von Urysohns Lemma:
Seien M eine verallgemeinerte differenzierbare Mannigfaltigkeit und [mm] A\subset U\subset [/mm] M (A abgeschlossen, U offen). Dann gibt es eine glatte Funktion [mm] f:M\to[0,1], [/mm] deren Träger in U liegt und auf A identisch 1 ist.
Hinweis: Betrachten Sie die lokal-endliche Überdeckung [mm] U\cup(M\backslash [/mm] A) und benutzen Sie b). |
Hallo!
Also a) wirkt jetzt erstmal klar, zumindest die Überdeckungseigenschaft ist es. Bei der lokalen Endlichkeit muss man dann schon ein wenig überlegen. Aber dann ist es irgendwie auch klar, da es ja nicht mehr Schnitte mit den offenen Mengen geben kann...
Dagegen sind b) und c) nicht so einfach. Mmh? Da steht zwar bei, wie es gehen soll, aber wie es nun genau geht weiß ich nicht.
c) versteh ich noch so halbwegs aber b) so garnicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mi 08.12.2010 | | Autor: | pelzig |
Also für die a): Nennen wir mal [mm]\bigcup_{i\in f^{-1}(j)}U_i=:\tilde{U}_j[/mm]. Ist nun [mm]x\in X[/mm] in [mm]U_i[/mm], so folgt [mm]x\in \tilde{U}_{f(i)}[/mm], also ist auch [mm](\tilde{U}_{j\in J})[/mm] eine Überdeckung von [mm]X[/mm]. Nun zur lokal-Endlichkeit: Nimm [mm]x\in X[/mm] und eine Umgebung [mm]U[/mm] von [mm]x[/mm], sodass [mm]I_U:=\{i\in I\mid U_i\cap U\ne\emptyset\}[/mm] endlich ist. Wir wollen zeigen dass auch [mm]J_U:=\{j\in J\mid \tilde{U}_j\cap U\ne\emptyset\}[/mm] endlich ist. Sei [mm]j\in J_U[/mm], dann ist [mm]\tilde{U}_j\cap U\ne\emptyset[/mm], d.h. [mm]U_i\cap U\ne\emptyset[/mm] für ein [mm]i\in f^{-1}(j)[/mm], was gleichbedeutend mit [mm]j\in f(I_U)[/mm] ist! Damit haben wir [mm]J_U\subset f(I_U)[/mm] gezeigt, also ist auch [mm]J_U[/mm] endlich.
Zu b) Habe ich jetzt nicht gleich rausbekommen und lass sie dir mal zum Knobeln. Du solltest wahrscheinlich benutzen dass jede Mannigfaltigkeit lokal kompakt und lindelöfsch ist usw.
Zu c) In der Aufgabe steht doch schon alles: Nimm die lokal-endliche (da endliche) offene Überdeckung [mm]\{U,M\setminus A\}[/mm] von [mm]M[/mm] und eine nach b) untergeordnete, glatte Zerlegung der Eins [mm]\{\varphi_1,\varphi_2\}[/mm]. Dann hat [mm]\varphi_1[/mm] Träger in [mm]U[/mm], aber [mm]\varphi_1|_A\equiv 1[/mm], da dort [mm]\varphi_2[/mm] gleich [mm]0[/mm] ist und ja [mm]\varphi_1+\varphi_2\equiv 1[/mm] gilt. Also hat [mm]\varphi_1[/mm] die gewünschten Eigenschaften
Viele Grüße,
Robert
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