lokal konstante Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 So 05.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum.Eine Abbildung f: X [mm] \to \IR [/mm] heißt lokal konstant,falls für alle x [mm] \in [/mm] X eine Zahl [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert, sodass f auf der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von x konstant ist.
a) Man zeige, dass für zusammenhängendes X jede lokal konstante Funktion konstant ist. |
Hallo zusammen^^
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht mehr weiter. Ich hab mal so angefangen:
Sei X zusammenhängend. Dann existieren keine nichtleeren offenen,disjunkten Teilmengen U,V von X, sodass X=U [mm] \cup [/mm] V. Sei jetzt f:X [mm] \to \IR [/mm] lokal konstant, d.h für jedes a [mm] \in [/mm] X existiert ein [mm] \varepsilon [/mm] derart, dass f auf dieser Umgebung konstant ist, d.h für alle a',b' [mm] \in K(a,\varepsilon) [/mm] gilt f(a')=f(a').
Zu zeigen ist nun: Für alle a,b [mm] \in [/mm] X: f(a)=f(b).
Also sei x [mm] \in [/mm] X mit f(x)=y. Dann betrachte ich die Mengen [mm] A=\{x \in X: f(x)=y\} [/mm] und [mm] B=\{x \in X: f(x) \not=y\}. [/mm] A und B sind disjunkt, deswegen kann X schonmal nicht die Vereingung von beiden sein. Und da f(x)=y ist, muss X=A sein ? Hier komme ich nicht mehr richtig weiter.
Hat jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy!
> Sei (X,d) ein metrischer Raum.Eine Abbildung f: X [mm]\to \IR[/mm]
> heißt lokal konstant,falls für alle x [mm]\in[/mm] X eine Zahl
> [mm]\varepsilon[/mm] >0 existiert, sodass f auf der
> [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von x konstant ist.
>
> a) Man zeige, dass für zusammenhängendes X jede lokal
> konstante Funktion konstant ist.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht mehr weiter. Ich
> hab mal so angefangen:
>
> Sei X zusammenhängend. Dann existieren keine nichtleeren
> offenen,disjunkten Teilmengen U,V von X, sodass X=U [mm]\cup[/mm]
> V. Sei jetzt f:X [mm]\to \IR[/mm] lokal konstant, d.h für jedes a
> [mm]\in[/mm] X existiert ein [mm]\varepsilon[/mm] derart, dass f auf dieser
> Umgebung konstant ist, d.h für alle a',b' [mm]\in K(a,\varepsilon)[/mm]
> gilt f(a')=f(a').
> Zu zeigen ist nun: Für alle a,b [mm]\in[/mm] X: f(a)=f(b).
> Also sei x [mm]\in[/mm] X mit f(x)=y. Dann betrachte ich die Mengen
> [mm]A=\{x \in X: f(x)=y\}[/mm] und [mm]B=\{x \in X: f(x) \not=y\}.[/mm] A und
> B sind disjunkt, deswegen kann X schonmal nicht die
> Vereingung von beiden sein.
???
> Und da f(x)=y ist, muss X=A
> sein ? Hier komme ich nicht mehr richtig weiter.
> Hat jemand einen Tipp für mich?
>
> Vielen Dank
> lg
>
>
Dein Ansatz, etwas klarer formuliert, ist folgender:
Angenommen, dass $f$ nicht konstant ist, dann gibt es [mm] $x_0,x_1 \in [/mm] X$ mit [mm] $f(x_0) \neq f(x_1)$.
[/mm]
Sei $A := [mm] \{x: f(x) = f(x_0)\}$ [/mm] und $B := [mm] \{x: f(x) \neq f(x_0)\}$. [/mm] Somit ist $A [mm] \neq \emptyset \neq [/mm] B$, [mm] $A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] und $X = [mm] A\cup [/mm] B$.
Wenn Du zeigst, dass $A$ und $B$ offen sind, dann ist $X$ nicht zusammenhängend und dieser Widerspruch beweist, dass $f$ konstant ist! $A,B$ sind offen, weil sie Vereinigungen offener Mengen (welcher?) sind.
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 So 05.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Wenn Du zeigst, dass [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] offen sind, dann ist [mm]X[/mm] nicht
> zusammenhängend und dieser Widerspruch beweist, dass [mm]f[/mm]
> konstant ist! [mm]A,B[/mm] sind offen, weil sie Vereinigungen
> offener Mengen (welcher?) sind.
Dazu habe ich zwei Ideen:
1. [mm] A_{1}=\{x:f(x) \subset f(x_{0}) \} \cup \{x: f(x_{0}) \subset f(x)\}=A_{2}, [/mm] wobei ich mir unsicher ob das überhaupt Sinn macht.
2. [mm] A_{1}=\{xx_{0}: f(x)=f(x_{0})\}. [/mm]
Kann man die zweite nehmen?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy!
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> > Wenn Du zeigst, dass [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] offen sind, dann ist [mm]X[/mm] nicht
> > zusammenhängend und dieser Widerspruch beweist, dass [mm]f[/mm]
> > konstant ist! [mm]A,B[/mm] sind offen, weil sie Vereinigungen
> > offener Mengen (welcher?) sind.
>
> Dazu habe ich zwei Ideen:
>
> 1. [mm]A_{1}=\{x:f(x) \subset f(x_{0}) \} \cup \{x: f(x_{0}) \subset f(x)\}=A_{2},[/mm]
> wobei ich mir unsicher ob das überhaupt Sinn macht.
$f(x) [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $f(x_0) \in \mathbb{R}$, [/mm] also ist $f(x) [mm] \subset f(x_0)$ [/mm] ein sinnloser Ausdruck.
>
> 2. [mm]A_{1}=\{xx_{0}: f(x)=f(x_{0})\}.[/mm]
Auf $X$ ist keine Relation '$<$' definiert.
>
> Kann man die zweite nehmen?
>
> Vielen Dank
> lg
Bevor man irgendetwas rät, ist es besser in der Aufgabenstellung nach geeigneten offenen Mengen zu suchen. Von welchen offenen Mengen ist in der Aufgabenstellung die Rede?
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:45 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo mathfunnel,
Danke für deine Hilfe.
> > 2. [mm]A_{1}=\{xx_{0}: f(x)=f(x_{0})\}.[/mm]
>
> Auf [mm]X[/mm] ist keine Relation '[mm]<[/mm]' definiert.
>
Schade, ich dachte die kann ich immer nehmen.
> Bevor man irgendetwas rät, ist es besser in der
> Aufgabenstellung nach geeigneten offenen Mengen zu suchen.
> Von welchen offenen Mengen ist in der Aufgabenstellung die
> Rede?
Die offenen Mengen sind die [mm] \varepsilon-Umgebungen [/mm] von x [mm] \in [/mm] X, auf denen f konstant ist und die sind offen,weil eine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] immer offen ist.
lg
PS: Bitte keine Unterstellungen, die beiden angegebenen Mengen waren schon durchdacht, aber meine Idee war wohl nicht richtig, es war nicht einfach geraten 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
mathfunnel hats doch gesagt:
Sei $ A := [mm] \{x: f(x) = f(x_0)\} [/mm] $ und $ B := [mm] \{x: f(x) \neq f(x_0)\} [/mm] $. Zeigen mußt Du: A und B sind offen.
Für A mach ich Dir es mal vor:
Sei a [mm] \in [/mm] A. Dann ist [mm] f(a)=f(x_0). [/mm] f ist lokalkonstant, also ex. ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit:
f ist auf der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung U von a konstant.
Folglich: [mm] f(x)=f(a)=f(x_0) [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] U.
Damit ist U [mm] \subseteq [/mm] A.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Fred,
> mathfunnel hats doch gesagt:
>
> Sei [mm]A := \{x: f(x) = f(x_0)\}[/mm] und [mm]B := \{x: f(x) \neq f(x_0)\} [/mm].
> Zeigen mußt Du: A und B sind offen.
>
> Für A mach ich Dir es mal vor:
>
> Sei a [mm]\in[/mm] A. Dann ist [mm]f(a)=f(x_0).[/mm] f ist lokalkonstant,
> also ex. ein [mm]\varepsilon>0[/mm] mit:
>
> f ist auf der [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung U von a konstant.
>
> Folglich: [mm]f(x)=f(a)=f(x_0)[/mm] für jedes x [mm]\in[/mm] U.
>
> Damit ist U [mm]\subseteq[/mm] A.
Danke, das leuchtet, ich hab den Beweis für B offen versucht:
zz: B := [mm] \{x: f(x) \neq f(x_0)\} [/mm] ist offen.
Beweis: Sei b [mm] \in [/mm] B. Dann gilt [mm] f(b)\not=f(x_{0}). [/mm] Diesmal ist f nicht lokalkonstant, denn es gilt f(x) [mm] \not=f(x_{0}) \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] B. Daraus folgt, dass es kein [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt, sodass f auf der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] U konstant ist.
Daraus folgt: f(x) [mm] \not=f(b) \not=f(x_{0}) \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] B.
Damit ist U [mm] \subseteq [/mm] B.
Stimmt das so?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > mathfunnel hats doch gesagt:
> >
> > Sei [mm]A := \{x: f(x) = f(x_0)\}[/mm] und [mm]B := \{x: f(x) \neq f(x_0)\} [/mm].
> > Zeigen mußt Du: A und B sind offen.
> >
> > Für A mach ich Dir es mal vor:
> >
> > Sei a [mm]\in[/mm] A. Dann ist [mm]f(a)=f(x_0).[/mm] f ist lokalkonstant,
> > also ex. ein [mm]\varepsilon>0[/mm] mit:
> >
> > f ist auf der [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung U von a konstant.
> >
> > Folglich: [mm]f(x)=f(a)=f(x_0)[/mm] für jedes x [mm]\in[/mm] U.
> >
> > Damit ist U [mm]\subseteq[/mm] A.
>
> Danke, das leuchtet, ich hab den Beweis für B offen
> versucht:
>
> zz: B := [mm]\{x: f(x) \neq f(x_0)\}[/mm] ist offen.
>
> Beweis: Sei b [mm]\in[/mm] B. Dann gilt [mm]f(b)\not=f(x_{0}).[/mm] Diesmal
> ist f nicht lokalkonstant,
Das ist doch Quatsch ! f ist als lokalkonstant vorausgesetzt !!
> denn es gilt f(x) [mm]\not=f(x_{0}) \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] B. Daraus folgt, dass es kein [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt,
> sodass f auf der [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] U konstant ist.
> Daraus folgt: f(x) [mm]\not=f(b) \not=f(x_{0}) \forall[/mm] x [mm]\in[/mm]
> B.
>
> Damit ist U [mm]\subseteq[/mm] B.
>
> Stimmt das so?
Nein. Das was da oben steht ist völliger Unsinn.
Sei b [mm] \in [/mm] B, also f(b) [mm] \ne f(x_0). [/mm] f ist lokalkonstant, also ex. ein $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ mit:
f ist auf der $ [mm] \varepsilon [/mm] $ - Umgebung V von b konstant.
Also: f(x)=f(b) für jedes x [mm] \in [/mm] V. Damit ist auch f(x) [mm] \ne f(x_0) [/mm] für jedes x [mm] \in [/mm] V.
Fazit: V [mm] \subseteq [/mm] B. Damit ist B offen.
FRED
>
> Vielen Dank
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Di 07.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> Das ist doch Quatsch ! f ist als lokalkonstant
> vorausgesetzt !!
Mist, das hatte ich mir zuerst auch gedacht. Aber dann habe ich wegen der Menge B gedacht, dass f doch nicht lokalkonstant ist.
> Nein. Das was da oben steht ist völliger Unsinn.
>
> Sei b [mm]\in[/mm] B, also f(b) [mm]\ne f(x_0).[/mm] f ist lokalkonstant,
> also ex. ein [mm]\varepsilon>0[/mm] mit:
>
> f ist auf der [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung V von b konstant.
>
> Also: f(x)=f(b) für jedes x [mm]\in[/mm] V. Damit ist auch f(x)
> [mm]\ne f(x_0)[/mm] für jedes x [mm]\in[/mm] V.
>
> Fazit: V [mm]\subseteq[/mm] B. Damit ist B offen.
Ok, war ja ganz einfach. Vielen,vielen Dank.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 07.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) Man zeige, dass jede lokal konstante Funktion auf jeder Zusammenhangskomponente konstant ist. |
Ich hab mich mal an die b) versucht.
Sei f eine lokal konstante Funktion.
Sei dann p [mm] \in [/mm] X und c(p) die Familie aller zsh. Teilmengen von X,welche p enthalten, d.h. [mm] c(p)=\{A_{1},...,A_{n}\} [/mm] mit [mm] A_{i} [/mm] zshg. Teilmengen.
Dann heißt [mm] C(p)=\bigcup_{A \subseteq c(p)}^{} [/mm] A die Zusammenhangskomponente von p.
Es gilt, dass C(p) ebenfalls zshg. ist und die größte zshg. Teilmenge von X ist. Und da [mm] X=\bigcup_{p \in X}^{} [/mm] C(p), ist auch X zshg., d.h. f ist konstant.
Damit ist es aber nicht bewiesen denke ich.
Ich muss doch jetzt folgendes zeigen: [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \bigcup_{A \subseteq c(p)}^{} [/mm] A: f(a)=f(b).
Sei also a [mm] \in \bigcup_{A \subseteq c(p)}^{} [/mm] A. Dann existier ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 sodass für alle x [mm] \in K(a,\varepsilon) [/mm] gilt: f(a)=f(x).
Sei weiterhin b [mm] \in \bigcup_{A \subseteq c(p)}^{} [/mm] A.
Weiter komme ich leider nicht mehr.
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Mi 08.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Was für ein Aufwand !!
Sei C eine Zusammenhangskomponente von X und f eine auf C lokalkonstante Funktion.
C ist zusammenhängend !!! Dann folgt doch aus a), dass f auf C konstant ist.
FRED
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