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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | Finden Sie die lokalen Extrema der folgenden Funktion:
f(x,y,z) = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] - 2xyz |
Hallo zusammen,
ich schreib am besten mal auf, wie weit ich bin:
zunächst habe ich die Richtungsableitungen bestimmt
[mm] f_{x}= [/mm] 2x - 2yz
[mm] f_{y}= [/mm] 2y - 2xz
[mm] f_{z}= [/mm] 2z - 2xy
Aus dem dann zu lösenden Gleichungssystem folgt, dass die Extremwertkandidaten (0,0,0) und (1,1,1) sind.
Es folgt die Berechnung der Hesse-Matrix
[mm] f_{xx} [/mm] = 2
[mm] f_{xy} [/mm] = [mm] f_{yx} [/mm] = 2z
[mm] f_{xz} [/mm] = [mm] f_{zx} [/mm] = 2y
[mm] f_{yy} [/mm] = 2
[mm] f_{yz} [/mm] = [mm] f_{zy} [/mm] = 2x
[mm] f_{zz} [/mm] = 2
[mm] H_{f} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2z & 2y \\ 2z & 2 & 2x \\ 2y & 2x & 2 }
[/mm]
Nun müssen ja die Extremwertkandidaten in die Hesse-Matrix eingesetzt werden:
[mm] H_{f_{1}}(0,0,0) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
-> Det [mm] H_{f_{1}} [/mm] = 6
da 6>0 liegt hier ein Minimum vor, richtig ?
nun folgt aber mein eigentliches Problem:
[mm] H_{f_{2}}(1,1,1) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 }
[/mm]
offensichtlich ist Det [mm] H_{f_{2}} [/mm] = 0
Was liegt hier nun vor ? kann man überhaupt eine Aussage machen?
Gruß Sierra
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Hallo Sierra,
meines Wissens muss man sich durch diesen Fall durchbeißen:
1. f(1,1,1) = 1
2. Die Eigenwerte der Matrix sind 0 und 6, d.h. die ist positiv semidefinit und somit ist das entweder ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt.
2. Untersuche nun Punkte "in der Nähe" von (1,1,1). Wenn du da einen findest, der "unter" 1 liegt, kann es kein Tiefpunkt sein. Wie man das geschickt macht, hängt von der konkreten Funktion ab, aber es ist immer am einfachsten, wenn man möglichst wenige Variable ändert. Wenn man also jetzt einen Punkt betrachtet, der sich nur in einer Variable unterscheidet, ist es bei deiner Funktion egal, welche man nimmt, also z.B. (1,1, [mm] 1+\varepsilon). [/mm] In die Funktionsgleichung eingesetzt ergibt sich dann:
[mm]f(1,1, 1+\varepsilon) = 1 + 1 + (1+\varepsilon)^{2} - 2*(1+\varepsilon) = 1 + \varepsilon^{2} > 1[/mm] (alles andere hebt sich auf).
Also liegen die Werte für alle diese Punkte oberhalb des kritischen Werts 1. So kannst du dich jetzt rantasten - und wenn du letztlich so weit kommst, dass du alle drei Werte ändern musst, also etwa (1 [mm] \pm \varepsilon_{1},1 \pm \varepsilon_{2},1 \pm \varepsilon_{3}), [/mm] und du stellst immer noch fest, dass die alle oberhalb von 1 landen, dann ist es ein Minimum.
Mit gutem geschultem Blick kann man direkt gute Varianten wählen, bis dahin hilft da nur probieren  .
Gruß,
weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo und danke erstmal für deine Antwort!
Nur um sicher zu gehen:
ich rechne nun
[mm] f(1+\varepsilon [/mm] , [mm] 1+\varepsilon [/mm] , [mm] 1+\varepsilon)= 3*(1+\varepsilon)^2 [/mm] - [mm] 2*(1+\varepsilon)^{3} [/mm] = 1- [mm] 3*\varepsilon^{2} [/mm] - [mm] 2*\varepsilon^{3}
[/mm]
Damit gebe es ja einen Punkt in der Nähe von (1,1,1), der <1 ist, womit bei (1,1,1) also ein Sattelpunkt vorliegt.. ?
Muss man einen Tiefpunkt unbedingt ausschließen, um darauf schließen zu können, dass hier ein Sattelpunkt vorliegt? oder kann man anders zeigen, dass hier ein Sattelpunkt vorliegt?
Gruß Sierra
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Ja, denn das Kriterium mit der Hesse-Matrix zieht hier leider nicht. Es gibt ja auch einen Fall, in dem du alleine mit der Hesse-Matrix auch auf einen Sattelpunkt schließen kannst, aber leider nicht, wenn 0 ein Eigenwert ist. Dann bleibt dir nach meinen Kenntnissen nichts anderes übrig, als das in etwa so zu überprüfen wie du das jetzt gemacht hast.
Vielleicht hat jemand anders noch eine bessere Idee.
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Sierra |
hmm, ich nehm das dann erstmal so hin :P
Vielen Dank für deine Antworten!
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