lokale Extrema - Dirichlet < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe hier eine der Dirichletfunktion sehr ähnliche Definition einer Funktion:
[mm] h(x)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x \in \IQ \\ 0, & \mbox{falls } x \in \IR \backslash \IQ\end{cases}
[/mm]
und möchte für diese alle lokalen Extrema bestimmen.
Aber ich weiß nicht so wirklich, wie ich da vorgehen kann.
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:48 Di 03.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Diese Funktion hat keine lokalen Extrema !
Es gilt : ist x0 ein Punkt in R, so liegen in jeder Umgebung von x0 sowohl rationale als auch irrationale Punkte.
FRED
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Hallo Fred,
danke, so hatte ich mir das auch gedacht. Ich wußte nur nicht,
ob es als Begründung / "Untersuchung" reicht, wenn man einfach
sagt, dass diese Funktion keine lokalen Extrema hat, weil
es keine Umgebung U von [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit
[mm] f(x_0) [/mm] = min h(U [mm] \cap \IR) [/mm] bzw. [mm] f(x_0) [/mm] = max h(U [mm] \cap \IR)
[/mm]
geben kann, da in jeder Umgebung von [mm] x_0 [/mm] auch
Punkte aus [mm] \IQ [/mm] existieren?
Danke,
Anna
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> Hallo Fred,
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> danke, so hatte ich mir das auch gedacht. Ich wußte nur
> nicht,
> ob es als Begründung / "Untersuchung" reicht, wenn man
> einfach
> sagt, dass diese Funktion keine lokalen Extrema hat, weil
> es keine Umgebung U von [mm]x_0 \in \IR[/mm] mit
> [mm]f(x_0)[/mm] = min h(U [mm]\cap \IR)[/mm] bzw. [mm]f(x_0)[/mm] = max h(U [mm]\cap \IR)[/mm]
>
> geben kann, da in jeder Umgebung von [mm]x_0[/mm] auch
> Punkte aus [mm]\IQ[/mm] existieren?
Hallo,
Du mußt genau nachschauen, wie bei Euch "lokales Maximum" definiert ist:
sowohl in meinem FU-Skript als auch im Forster ist für ein lokales Maximum gefordert, daß es eine Umgebung gibt, in welcher kein größerer Funktionswert vorkommt.
Für ein isoliertes (bzw. strenges lokales Maximum) wird dann verlangt, daß es eine Umgebung gibt, in welcher sämtliche anderen Funktionswerte kleiner sind.
Nach dieser Def. hätte Deine Funktion durchaus Maxima, aber keine strengen Maxima.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
> > weil es keine Umgebung U von [mm]x_0 \in \IR[/mm] mit
> > [mm]f(x_0)[/mm] = min h(U [mm]\cap \IR)[/mm] bzw. [mm]f(x_0)[/mm] = max h(U [mm]\cap \IR)[/mm]
>
> >
> > geben kann, da in jeder Umgebung von [mm]x_0[/mm] auch
> > Punkte aus [mm]\IQ[/mm] existieren?
>
> Hallo,
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> Du mußt genau nachschauen, wie bei Euch "lokales Maximum"
> definiert ist:
>
> sowohl in meinem FU-Skript als auch im Forster ist für ein
> lokales Maximum gefordert, daß es eine Umgebung gibt, in
> welcher kein größerer Funktionswert vorkommt.
>
> Für ein isoliertes (bzw. strenges lokales Maximum) wird
> dann verlangt, daß es eine Umgebung gibt, in welcher
> sämtliche anderen Funktionswerte kleiner sind.
>
> Nach dieser Def. hätte Deine Funktion durchaus Maxima, aber
> keine strengen Maxima.
stimmt wohl. Und wie zeigt man das jetzt genau? Reicht es, wenn ich
zusätzlich sage, dass für jedes [mm] x_0 \in \IR [/mm]
[mm] f(x_0)\not= [/mm] min [mm] f(\IR)
[/mm]
gilt? Irgendwie weiß ich gerade nicht so recht, wie ich das korrekt zeige.
Danke,
Anna
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> Irgendwie weiß ich gerade nicht so recht, wie ich
> das korrekt zeige.
Hallo,
na, Hauptsache erstmal, Dir ist klar, WAS Du zeigen möchtest...
Ist es Dir klar? Wenn ja, solltest Du die zu zeigende Aussage formulieren.
Zur Hilfe
Hat man an der Stelle [mm] x_0=5 [/mm] ein Maximum? Wenn ja: ein strenges?
Hat man an der Stelle [mm] x_0=\wurzel{2} [/mm] ein Minimum? Wenn ja: ein strenges?
Hat man an der Stelle [mm] x_0=-\wurzel{2} [/mm] ein Maximum? Wenn ja: ein strenges?
Hat man an der Stelle [mm] x_0=-5 [/mm] ein Minimum? Wenn ja: ein strenges?
Gruß v. Angela
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Hallo,
im Grunde muss ich doch zeigen:
Es gibt keine Umgebung U von a mit
h(a)=min h(U [mm] \cap \IR) [/mm] ( h(a)=min h(U [mm] \cap \IR) [/mm] )
sowie kein a mit
h(a)= min [mm] h(\IR) [/mm] (h(a)=max [mm] h(\IR))
[/mm]
Und das ist doch allein deswegen schon so, weil in einer
beliebigen Umgebung von a [mm] \in \IR [/mm] immer irrationale Zahlen liegen und umgekehrt.
Oder denke ich doch in die falsche Richtung?
Danke,
Anna
> Hat man an der Stelle [mm]x_0=5[/mm] ein Maximum? Wenn ja: ein
> strenges?
>
> Hat man an der Stelle [mm]x_0=\wurzel{2}[/mm] ein Minimum? Wenn ja:
> ein strenges?
>
> Hat man an der Stelle [mm]x_0=-\wurzel{2}[/mm] ein Maximum? Wenn ja:
> ein strenges?
>
> Hat man an der Stelle [mm]x_0=-5[/mm] ein Minimum? Wenn ja: ein
> strenges?
auf [mm] \IR [/mm] gesehen hat h doch an all diesen Stellen kein Maximum/Minimum? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke,
Anna
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> im Grunde muss ich doch zeigen:
Hallo,
wofür mußt Du das zeigen? Wie lautet die Aussage, die Du zeigen willst?
> Es gibt keine Umgebung U von a mit
> h(a)=min h(U [mm]\cap \IR)[/mm] ( h(a)=min h(U [mm]\cap \IR)[/mm] )
> sowie kein a mit
> h(a)= min [mm]h(\IR)[/mm] (h(a)=max [mm]h(\IR))[/mm]
> > Hat man an der Stelle [mm]x_0=5[/mm] ein Maximum? Wenn ja: ein
> > strenges?
> >
> > Hat man an der Stelle [mm]x_0=\wurzel{2}[/mm] ein Minimum? Wenn ja:
> > ein strenges?
> >
> > Hat man an der Stelle [mm]x_0=-\wurzel{2}[/mm] ein Maximum? Wenn
> ja:
> > ein strenges?
> >
> > Hat man an der Stelle [mm]x_0=-5[/mm] ein Minimum? Wenn ja: ein
> > strenges?
>
> auf [mm]\IR[/mm] gesehen hat h doch an all diesen Stellen kein
> Maximum/Minimum?
Wirklich nicht?
Dann sag mir mal eine Stelle innerhalb einer [mm] \bruch{1}{2}-Umgebung [/mm] von [mm] \wurzel{2}, [/mm] an welcher die Funktion einen Wert annimmt, der kleiner als 0 ist.
Und sag mir eine Stelle innerhalb einer [mm] \bruch{1}{2}-Umgebung [/mm] von [mm] -\wurzel{2}, [/mm] an welcher die Funktion einen Wert annimmt, der größer als 0 ist.
Du solltest nun sehen, daß es tatsächlich Stellen mit lokalen Extremwerten gibt.
Allerdings sind diese nicht streng (manchmal heißt as auch isoliert).
Mal Dir die Funktion doch auf, wenn man etwas seine Fantasie bemüht, sieht man im Bildchen alles:
für die rationalen Zahlen erhältst Du die Winkelhalbierende, für die irrationalen die x-Achse.
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Wenn Du zeigen willst, daß bei [mm] x_0=5 [/mm] kein Extremwert vorliegt, begründe glaubhaft, daß es in jeder Umgebung Funktionswerte die größer und solche die kleiner sind als f(5) gibt.
Wenn Du zeigen willst, daß bei [mm] x_0=\wurzel{2} [/mm] kein strenges(!) Minimum vorliegt, begründe glaubhaft, daß es in jeder Umgebung Stellen gibt, an denen der [mm] Funktionswert=f(\wurzel{2}) [/mm] ist.
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Ein Rat zur systematischen Vorgehensweise:
Behandle die Stellen, die
-positiv und rational
-positiv und irrational
-0
-negativ und rational
-negativ und irrational
sind, getrennt. Sonst verliert man zu leicht den Überblick. Man will ja nicht wirr werden.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank für die hilfreiche Antwort!
Irgendwie ist mir nämlich wirklich schon wirr 
Also:
Es sind alle lokalen Extrema zu bestimmen.
Für alle rationalen Zahlen x>0 und x<0:
Es gibt keine lokalen Extrema, da jede reelle Zahl
ein Häufungspunkt von [mm] \IQ [/mm] ist.
Für alle irrationalen Zahlen x >0:
h(x) = 0. Sei U eine Umgebung von x mit
h(x) = min h(U [mm] \cap \IR)=0
[/mm]
Dann ist x ein lokales Minimum.
Für alle irrationalen Zahlen x <0:
h(x) = 0. Sei U eine Umgebung von x mit
h(x) = max h(U [mm] \cap \IR)=0
[/mm]
Dann ist x ein lokales Maximum.
Ist das soweit OK?
Tja, und für x=0? Da gilt h(x)=0 und somit
gibt es auch eine Umgebung von x?
Irgendwie bin ich immer noch ein wenig "verwirrt".
Danke,
Anna
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> Hallo Angela,
>
> vielen Dank für die hilfreiche Antwort!
> Irgendwie ist mir nämlich wirklich schon wirr
> Also:
> Es sind alle lokalen Extrema zu bestimmen.
>
> Für alle rationalen Zahlen x>0 und x<0:
> Es gibt keine lokalen Extrema, da jede reelle Zahl
> ein Häufungspunkt von [mm]\IQ[/mm] ist.
Hallo,
ich würde die Konsequenzen dieser Tatsache noch etwas ausschmücken underwähnen, daß es daher sowohl größere als auch kleinere Werte als f(a) in der betrachteten Umgebung gibt.
>
> Für alle irrationalen Zahlen x >0:
> h(x) = 0. Sei U eine Umgebung von x mit
> h(x) = min h(U [mm]\cap \IR)=0[/mm]
> Dann ist x ein lokales
> Minimum.
Du denkst hier richtig. Aber Du überzeugst noch nicht.
Gib eine bestimmte Umgebung an.
Nimm z.B. die [mm] \bruch{x}{2}-Umgebung [/mm] von x.
Und nun kannst Du erkären, welche Elemente h(U [mm][mm] \cap \IR) [/mm] enthält und daraus schließen, daß 0=f(x) das Minimum dieser Menge ist, also die Funktion f an dieser Stelle x ein Minimum hat.
Für die irrationalen x<0 entsprechend.
> Tja, und für x=0? Da gilt h(x)=0 und somit
> gibt es auch eine Umgebung von x?
Naja, irgendeine Umgebung gibt's immer.
Leg glaubhaft dar, daß es in jeder Umgebung von 0 Stellen gibt, deren Funktionswert größer als f(0)=0 und solche, deren Funktionswert kleiner als f(0)=0 ist.
Für jede Umgebung U von 0 ist also [mm] f(0)=0\not= [/mm] (!)min h(U [mm][mm] \cap \IR) [/mm] und f(0)=0 [mm] \not= [/mm] (!)max h(U [mm][mm] \cap \IR).
[/mm]
Also findet man keine Umgebung, in welcher die Extremwertbedingung erfüllt ist.
> Irgendwie bin ich immer noch ein wenig "verwirrt".
Aber ich glaube, Du bist jetzt auf dem richtigen Weg.
Ich würde mir mal, unabhängig von dieser Aufgabe, eine Funktion mit Extremwert aufzeichnen und mir daran die Extremwertdefinition verdeutlichen. Mach Dir bei jedem Bestandteil der Def. klar, wo Du ihn im Bildchen findest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Do 05.06.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
nochmals vielen Dank für Deine hilfreiche Antwort!!
Ich denke meine Verwirrung ist nun etwas "entwirrt"
> Ich würde mir mal, unabhängig von dieser Aufgabe, eine Funktion mit Extremwert
> aufzeichnen und mir daran die Extremwertdefinition verdeutlichen. Mach Dir bei
> jedem Bestandteil der Def. klar, wo Du ihn im Bildchen findest.
Ja, das hatte ich schon mal gemacht. Werde mir das aber noch einmal
erneut verdeutlichen, denn sowas ist in der Tat hilfreich! Danke auch für diesen Tipp!
Gruß,
Anna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Di 03.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Meine erste Antwort zu dieser Frage war leider falsch.
f hat doch lokale Extremstellen.
Sei x0 in R.
1. Fall:
Ist x0 rational, so ist x0 keine Stelle eines lok. Extr., denn in jeder Umgebung von x0 gibt es rationale Punkte x1<x0 und x2>x0, also
f(x1)=x1<x0=f(x0) und f(x2)=x2>x0=f(x0)
2.Fall:
x0 sei irrational.
Fall2.1: x0>0. Wähle eine Umgebung U von x0 mit x>0 für jedes x in U
Dann gilt f(x) ist größer oder gleich f(x0)=0 für jedes x in U.
f hat also in x0 ein lokales Minimum.
Fall2.2: x0<0. Analog sieht man. f hat in x0 ein lokales Maximum
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Di 03.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
beim Mitlesen stellt sich mir in diesem Zusammenhang eine Frage:
Kann man die Umgebung einer rationalen Zahl prinzipiell so klein wählen, dass diese Umgebung (außer der Zahl selbst) nur noch irrationale Zahlen enthält?
Zunächst hätte ich gedacht: Nein. Egal wie klein, es gibt ja immer noch enger beisammen liegende rationale Zahlen.
Andererseits liegen zwischen den rationalen Zahlen ja wiederum beliebig viele irrationale Zahlen, also müsste man ja vielleicht doch...?
Schöne Grüße,
ardik
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Di 03.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Zwischen je zwei verschiedenen reellen Zahlen liegen stets unendlich viele rationale Zahlen und auch unendlich viele irrationale Zahlen.
Zur info:
Nimm a, b in R mit a<b und setze I=[a,b]. Das Intervall I ist überabzählbar, die Menge der rationalen Zahlen in I ist abzählbar unendlich, also ist die Menge der irrationalen Zahlen in I überabzählbar.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Di 03.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Fred,
ja, so ähnlich hatte ich das eigentlich auch im Hirn.
Danke fürs Geraderücken.
sagt
ardik
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Hallo Angela,
erstmal DANKE für Deine sehr hilfreiche Antwort, ich werde dazu gleich noch
was schreiben bzw. ich bin dabei es zu bearbeiten. Dabei ist mir jedoch aufgefallen:
> Du mußt genau nachschauen, wie bei Euch "lokales Maximum"
> definiert ist:
>
> sowohl in meinem FU-Skript als auch im Forster ist für ein
> lokales Maximum gefordert, daß es eine Umgebung gibt, in
> welcher kein größerer Funktionswert vorkommt.
bei mir mi Skript steht exakt:
Definition (lokales Extremum)
Sei a [mm] \in \IR [/mm] . Eine Funktion f : D [mm] \to \IR [/mm] besitzt an der Stelle a ein lokales Minimum
(bzw. ein lokales Maximum), wenn es eine Umgebung U von a mit
f(a) = min f(U [mm] \cap [/mm] D) (bzw f(a)= max f(U [mm] \cap [/mm] D))
gibt.
Lokale Minima bzw. lokale Maxima , auch relative Minima / Maxima genannt, werden
als lokale (oder relative) Extrema zusammengefasst.
Also doch anders als bei Dir?
Es steht lediglich weiter unten ganz kurz, dass das (globale) Minimum bzw. Maximum
einer Funktion erst recht ein lokales Minimum / Maximum ist (..f(a)= min f(D),..)
Danke,
Anna
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> bei mir mi Skript steht exakt:
> Definition (lokales Extremum)
> Sei a [mm]\in \IR[/mm] . Eine Funktion f : D [mm]\to \IR[/mm] besitzt an der
> Stelle a ein lokales Minimum
> (bzw. ein lokales Maximum), wenn es eine Umgebung U von a
> mit
> f(a) = min f(U [mm]\cap[/mm] D) (bzw f(a)= max f(U [mm]\cap[/mm] D))
> gibt.
Hallo,
bis auf daß in meinem Skript "hat" statt "besitzt" steht, ist das exakt gleich.
Das bedeutet, daß f an der Stelle a ein Minimum hat, wenn man eine Umgebung findet, in welcher kein Funktionswert kleiner als f(a) ist.
f(U [mm] \cap [/mm] D) bedeutet doch, daß man sich die Funktionswerte sämtlicher Elemente, die in U [mm] \cap [/mm] D liegen, anschaut, und minf(U [mm] \cap [/mm] D) sagt, daß man den kleinsten von denen nehmen soll. Wenn der =f(a) ist, hat man ein Minimum an der Stelle a.
(In Anschluß an diese Def. erklärt mein Skript das strenge lokale Minimum.)
gruß v. Angela
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