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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - lokale Extrema bestimmen
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lokale Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:41 Mi 12.12.2012
Autor: s1mn

Aufgabe
Es sei f: [mm] \IR^{3} \to \IR [/mm] gegeben durch f(x) = [mm] x^{T} [/mm] A x + [mm] c^{T} [/mm] x, wobei A:= [mm] \pmat{ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2} [/mm] und c:= [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ -8}. [/mm]
Bestimmen Sie alle lokalen Extremstellen von f.

Hey Leute,

Ich weiss nicht was diese Woche mit meinem Ana Blatt los ist, aber iwie bekomm ich fast nichts hin -.-
Tutorium hat mir leider auch nicht wirklich was gebracht.

Ich muss hier schon erstmal die Matrix mit den 2 Vektoren multiplizeren, sowie  die 2 Vektoren ?!
Und [mm] x:=\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] setzen z.B.

Dann habe ich ja f(x,y,z) = (x,y,z)  [mm] \pmat{ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + (-2 0 -8) [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm]

Bekomme dann als Funktion am Ende:
f(x,y,z) = [mm] 3x^{2} [/mm] + [mm] 4y^{2} [/mm] + [mm] 2z^{2} [/mm] - 2xy - 2x -8z

dann abgeleitet:
f'(x,y,z) = (6x-2y-2,  8y-2x, 4z-8)

f'(x,y,z) nullsetzen:
x = [mm] \bruch{4}{11} [/mm]
y = [mm] \bruch{1}{11} [/mm]
z = 2

[mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{1}{11} \vektor{4 \\ 1 \\22} [/mm]

Dann noch Hessematrix (führe ich jetzt nicht auf).
Bekomme raus, dass diese positiv definit ist [mm] \Rightarrow [/mm] lokales Minimum bei x = [mm] \bruch{1}{11} \vektor{4 \\ 1 \\22} [/mm]

Das wäre aber laut meiner  Rechnung dann die einzige Extremstelle.

Passt der Ansatz ? Bzw. das Ergebnis ?

        
Bezug
lokale Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Mi 12.12.2012
Autor: MathePower

Hallo s1mn,

> Es sei f: [mm]\IR^{3} \to \IR[/mm] gegeben durch f(x) = [mm]x^{T}[/mm] A x +
> [mm]c^{T}[/mm] x, wobei A:= [mm]\pmat{ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2}[/mm]
> und c:= [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ -8}.[/mm]
>  Bestimmen Sie alle lokalen
> Extremstellen von f.
>  Hey Leute,
>  
> Ich weiss nicht was diese Woche mit meinem Ana Blatt los
> ist, aber iwie bekomm ich fast nichts hin -.-
>  Tutorium hat mir leider auch nicht wirklich was gebracht.
>  
> Ich muss hier schon erstmal die Matrix mit den 2 Vektoren
> multiplizeren, sowie  die 2 Vektoren ?!
>  Und [mm]x:=\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] setzen z.B.
>  
> Dann habe ich ja f(x,y,z) = (x,y,z)  [mm]\pmat{ 3 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2} \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> + (-2 0 -8) [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>  
> Bekomme dann als Funktion am Ende:
>  f(x,y,z) = [mm]3x^{2}[/mm] + [mm]4y^{2}[/mm] + [mm]2z^{2}[/mm] - 2xy - 2x -8z
>  


Das stimmt nicht ganz:

[mm]f(x,y,z) = 3x^{2} + 4y^{2} + 2z^{2} - 2xy\red{+4xz} - 2x -8z[/mm]


> dann abgeleitet:
>  f'(x,y,z) = (6x-2y-2,  8y-2x, 4z-8)
>  
> f'(x,y,z) nullsetzen:
>  x = [mm]\bruch{4}{11}[/mm]
>  y = [mm]\bruch{1}{11}[/mm]
>  z = 2
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]\bruch{1}{11} \vektor{4 \\ 1 \\22}[/mm]
>  
> Dann noch Hessematrix (führe ich jetzt nicht auf).
> Bekomme raus, dass diese positiv definit ist [mm]\Rightarrow[/mm]
> lokales Minimum bei x = [mm]\bruch{1}{11} \vektor{4 \\ 1 \\22}[/mm]
>  
> Das wäre aber laut meiner  Rechnung dann die einzige
> Extremstelle.
>  
> Passt der Ansatz ? Bzw. das Ergebnis ?


Das Ergebnis stimmt nicht,
da die Funktion nicht korrekt ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
lokale Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:03 Mi 12.12.2012
Autor: s1mn

Danke für deine schnelle Antwort. Ja du hast Recht. Stimmt nicht. Hab den Fehler auch gefunden.

Es hat sich ein Minus eingeschlichen, welches die 4xz verschwinden lassen hat^^

Danke :)

Bezug
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