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Forum "Schul-Analysis" - lokale Extrema und intervalle
lokale Extrema und intervalle < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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lokale Extrema und intervalle: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:04 Sa 25.06.2005
Autor: diefrage

Hallo zusammen,

ich habe ein kleines problem, und zwar haben wir in der schule eine "freiwillige" aufgabe bekommen, mit der wir unsere note ein bissl verbessern können, das problem ist, ich hab gar keine ahnung... hier die aufgabe:

f(x):=[mm]\bruch{ln x}{x}[/mm]


a) alle lokalen extrema bestimmen
b) die maximalen intervalle I [mm]\subseteq[/mm] [mm]\IR_+[/mm]*


also in mathe bin ich ganz gut, aber mit so was kann ich gar nix anfangen, wäre toll wenn mir jemand ein paar tips geben könnte...

vielen dank schon mal

mfg
dennis


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
lokale Extrema und intervalle: Vorgehensweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 Sa 25.06.2005
Autor: Loddar

Hallo diefrage,

[willkommenmr] !!


> f(x):=[mm]\bruch{ln x}{x}[/mm]
>  
> a) alle lokalen extrema bestimmen
> b) die maximalen intervalle I [mm]\subseteq[/mm] [mm]\IR_+[/mm]*

Wenn Du in Mathe "ganz gut" bist, wirst Du ja auch sicher wissen, wie man allgemein Extrema bestimmt, oder?


[1.] 1. und 2. Ableitung bilden

$f'(x) \ = \ ...$
$f''(x) \ = \ ...$


[2.] Nullstellen der 1. Ableitung ermitteln: [mm] $f'\left(x_E\right) [/mm] \ = \ 0$
(notwendiges Kriterium).
Also: $f'(x)$ gleich Null setzen und nach [mm] $x_E$ [/mm] umstellen.


[3.] Mögliche Extremwerte in die 2. Ableitung einsetzen und überprüfen, ob [mm] $f''\left(x_E\right) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ (hinreichendes Kriterium)

[mm] $f''\left(x_E\right) [/mm] \ > \ 0$   [mm] $\Rightarrow$ $x_E$ [/mm] ist ein (relatives = lokales) Minimum

[mm] $f''\left(x_E\right) [/mm] \ < \ 0$   [mm] $\Rightarrow$ $x_E$ [/mm] ist ein (relatives = lokales) Maximum


[4.] zugehörige Funktionswerte ermitteln: [mm] $y_E [/mm] \ = \ [mm] f\left(x_E\right)$ [/mm]


Bei den Ableitungen dieser Funktion mußt Du mit der MBQuotientenregel arbeiten.

Zudem sollte man wissen:   [mm] $\left[ \ \ln(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm]


Was mit den "maximalen Intervallen" gemeint ist, weiß ich leider nicht [keineahnung] ...


Kommst Du mit diesen Hinweisen nun etwas weiter?
Melde Dich doch nochmal mit den Ableitungen und/oder weiteren (Zwischen-)Ergebnissen.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
lokale Extrema und intervalle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 Sa 25.06.2005
Autor: diefrage

hallo loddar,

erst mal vielen dank für die super schnelle antwort!

also das mit der ableitung bei solchen funktionen is für mich schon verwirrend, ich bin nur im grundkurs und hab meistens mit zahlen zu tun :-)

naja, ich habs mal probiert:

f'(x)= [mm] \bruch{1-lnx}{x^2}[/mm]   ist das richtig???
f''(x)= [mm] \bruch{-3x+ln2x^2}{x^4}[/mm]  da hab ich mehr geraten... [verwirrt]

wenn ich jetzt also den zähler der 1. ableitung 0 setze, bekomme ich 2,718281828.... raus

ob das jetzt stimmt was ich da gemacht habe weiß ich wirklich nicht...
Bezug
                        
Bezug
lokale Extrema und intervalle: Gute Ansätze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 Sa 25.06.2005
Autor: Loddar

Hallo diefrage!


> naja, ich habs mal probiert:
>  
> f'(x)= [mm]\bruch{1-lnx}{x^2}[/mm]   ist das richtig???

[daumenhoch] Völlig richtig!!



> f''(x)= [mm]\bruch{-3x+ln2x^2}{x^4}[/mm]  da hab ich mehr geraten... [verwirrt]

[notok] Diese Ableitung stimmt nicht!

Wobei auch hier die Ansätze richtig scheinen.
Ich glaube, Du hast lediglich falsch zusammengefasst:

[mm]f''(x) \ = \ \bruch{-\bruch{1}{x}*x^2 - [1-\ln(x)]*2x}{x^4}[/mm]

[mm]f''(x) \ = \ \bruch{-x - [1-\ln(x)]*2x}{x^4}[/mm]


Hattest Du das auch?

Zunächst klammern wir nun einmal im Zähler x aus und kürzen:

[mm]f''(x) \ = \ \bruch{-1 - [1 -\ln(x)]*2}{x^3}[/mm]

[mm]f''(x) \ = \ \bruch{-1 - 2 + 2*\ln(x)}{x^3}[/mm]

[mm]f''(x) \ = \ \bruch{2*\ln(x)-3}{x^3}[/mm]


Und, [lichtaufgegangen] ??


> wenn ich jetzt also den zähler der 1. ableitung 0 setze,
> bekomme ich 2,718281828.... raus

[daumenhoch] Stimmt auch ...

Aber schreibe doch lieber kurz: [mm] $x_E [/mm] \ = \ e$


Hast Du diesen Wert auch schon in die 2. Ableitung eingesetzt?


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
lokale Extrema und intervalle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Sa 25.06.2005
Autor: diefrage

Hi,

ok, du hast recht, ich hab bei der 2. ableitung falsch zusammengefasst, fällt mir nicht ganz so leicht mit den formeln, obwohl es ja eigentlich das gleiche ist...

naja, ich hab den wert mal in die 2. ableitung eingesetzt und bekomme das da raus:

x=2,718281828

f''(x)= [mm] \bruch{2*lnx-3}{x^3}[/mm]

f''(x)= [mm] -\bruch{1}{20,085}[/mm]

das ergebnis lautet : -0,049787068
das heißt ja für mich, dass x ein lokales Maximum ist, da x < 0 ist.


ist das das einzige extrema, das diese funktion besitzt?


noch mal vielen dank für die tolle hilfe!



Bezug
                                        
Bezug
lokale Extrema und intervalle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:58 Sa 25.06.2005
Autor: bobby

Ja, das ist vollkommen richtig... Die Funktion hat nur ein Maximum bei x=e. Jetzt musst du nur noch den Funktionswert an dieser Stelle bestimmen und fertig. Du kannst dir die Funktion auch einfach mal aufzeichnen, dann siehst du, dass das das einzige Extremum ist.
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