lokale Extrema von x^x < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für die Funktion [mm] f:(0,\infty)->(o,\infty), f(x)=x^x [/mm] bestimme man alle lokalen Extrema |
Das letzte mal als ich das gemacht habe, war in der Schule, also seeeehr lang her.
da hab ich einfach mal meine erste Ableitung bestimmt und diese 0 setzen wollen, mit einem interessanten Ergebnis
[mm] f'(x)=\bruch{x^x}{ln(x+1)} [/mm]
hm. versuche ich da den Grenzwert zu bilden? (bei x->0 bietet sich ja L'hopital an, der macht aber alles nur noch schlimmer) wie verfahre ich weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mo 06.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Ableitung ist falsch.
bei der richtigen ist der Extremwert leicht zu bestimmen.
Gruss leduart
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-.- ähem
[mm] f'(x)=x^x*(lnx+1)
[/mm]
[mm] x^x*lnx=-x^x [/mm] l durch [mm] x^x [/mm]
lnx=-1
[mm] x=e^{-1}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{x^x}{x}+x^x*(lnx+1)+x^x(lnx+1)^2
[/mm]
[mm] f''(e^{-1})>0
[/mm]
Wir haben ein lokales Minimum an der Stelle [mm] e^{-1}.
[/mm]
Gäbe es eine Lösung, wenn man die Ableitung von vorhin raus hätte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Mo 06.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, [mm] x^x/ln(x+1) [/mm] hat keine nullstelle nur für x gegen [mm] \infty [/mm] und x gegen 0 wird es beliebig gross.
Gruss leduart
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