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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Di 05.07.2005 | | Autor: | FVato |
Ich habe folgende Aufgabe in einer alten Klausur gefunden und finde keine Lösung:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] \cos(x+y) [/mm] - [mm] e^y [/mm] = 0 in der Nähe des Punktes (0,0) nach y auflösbar ist, und bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung y'(0) und y''(0)
Mein Ansatz:
Hier kommt mein erstes Problem:
Muss ich nun gucken ob [mm] \partial [/mm] x oder [mm] \partial [/mm] y invertierbar ist???
Leite ich das ding mal nach x ab. Dann ist
[mm] \cos(x+y) [/mm] - [mm] e^y [/mm] nach x abgeleitet:
[mm] -\sin(x+y) [/mm]
Und das ist genau dann null wenn [mm] x+y=k*2*\pi k\in\IN
[/mm]
Also ist [mm] \forall (x,y)\in\IR [/mm] mit [mm] x+y\not=k*2*\pi [/mm] die Gleichung nach y umkehrbar.
Dann wäre jetzt [mm] y'(y)=-\left( \frac{\partial}{\partial x} \right)^{-1}*\left( \frac{\partial}{\partial y} \right) [/mm] = [mm] \left( \frac{-1}{-\sin(x+y)} \right)*(-\sin(x+y)-y*e^y)
[/mm]
Bis dahin mal. Wenn ich jetzt y'(0) ausrechne kommt raus:
[mm] y'(0)=\left( \frac{-1}{-\sin(x)} \right)*(-\sin(x)) [/mm] = -1
Und ich find das Ergebniss irgendwie zu komisch.
Die zweite Ableitung spar ich mir hier mal, wenn ich es bis hierhin richtig hätte wäre der rest ja kein Problem mehr...
Seht ihr nen Fehler?
Vielen Dank für eure Hilfe schonmal!
FVato
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Di 05.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm]\cos(x+y)[/mm] - [mm]e^y[/mm] = 0 in der
> Nähe des Punktes (0,0) nach y auflösbar ist, und bestimmen
> Sie die 1. und 2. Ableitung y'(0) und y''(0)
Du musst y=y(x) denken und dann die Gleichung nach x differenzieren, keine partielle Ableitung!
also [mm](\cos(x+y)[/mm] - [mm]e^y[/mm] )'= 0
> [mm] -\sin(x+y)*(1+y')-y'*e^y=0[/mm] nach y' auflösen.
entsprechend für y'' da musst du y' dann noch mal einsetzen!
> Hier kommt mein erstes Problem:
> Muss ich nun gucken ob [mm]\partial[/mm] x oder [mm]\partial[/mm] y
> invertierbar ist???
nach y ableiten, da du nach y auflösen willst! [mm] f_{y}=-sin(x+y)-e^{y} ;f_{y}(0,0)=-1 [/mm]
also invertierbar!
dass du nach y abl. musst solltest du aber auch in deiner Vorlesungsmitschrift oder nem Buch leicht finden!!
Gruss leduart
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