lokale/globale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Di 29.03.2011 | | Autor: | cr42 |
| Aufgabe | [mm]f(x,y) = x_{1} * x_{2}^2 - x_{1}^2 - x_{2}^2 - 2 * x_{1}[/mm]
Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte von f und untersuchen Sie, ob diese global sind. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe partielle Ableitung, Hesse- Matrix und Definitheit verstanden und die kritischen Punkte:
[mm] P_{1}(-1;0), P_{2}(1;2), P_{3}(1;-2).
[/mm]
Hessematrix: [mm]\pmat{ -2 & 2y \\ 2y & 2x-2 }[/mm]
[mm] P_{1} [/mm] ist ein Maximum, da die Hessematrix hier negativ definit ist. Bei den anderen beiden Punkten ist ein Sattelpunkt vorhanden, da die Hessematrix jeweils indefinit ist.
Nun meine Frage:
Wie kann ich prüfen, ob der gefundene Extremwert global ist?
Mein Ansatz:
Grenzwertbetrachtung, wenn x und y jeweils gegen unendlich bzw. minus unendlich gehen. Doch weiß ich nicht, wie ich diesen ausrechnen kann und ob dieses Kriterium das Richtige ist.
Wir haben uns im Kurs auch nicht mit Randlösungen beschäftigt, ich brauche also nur ein Kriterium, womit ich sagen kann, dass ein lokales Extremum auch global ist. Wo dieses dann liegt (etc.) ist nicht wichtig.
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Ein kleiner Beitrag zur Allgemeinbildung.
"Extrema" gibt es nicht im Singular. Dort heißt es "Extremum".
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Ja, das stimmt wohl. Es geht halt nicht optimaler ...
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Hallo zusammen,
die optimalste Lösung scheint mir gar in Anlehnung an Helge Schneiders Mehrzahl für Solo:
Solata
auch hier von Extremata zu sprechen ...
Obwohl - Maximata und Minimata hören sich sch... an 
Nun aber genug off topic ...
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y) = x_{1} * x_{2}^2 - x_{1}^2 - x_{2}^2 - 2 * x_{1}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die lokalen Extremwerte von f und untersuchen
> Sie, ob diese global sind.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe partielle Ableitung, Hesse- Matrix und Definitheit
> verstanden und die kritischen Punkte:
> [mm]P_{1}(-1;0), P_{2}(1;2), P_{3}(1;-2).[/mm]
>
> Hessematrix: [mm]\pmat{ -2 & 2y \\ 2y & 2x-2 }[/mm]
>
> [mm]P_{1}[/mm] ist ein Maximum, da die Hessematrix hier negativ
> definit ist. Bei den anderen beiden Punkten ist ein
> Sattelpunkt vorhanden, da die Hessematrix jeweils indefinit
> ist.
Bis hier stimmts.
>
> Nun meine Frage:
> Wie kann ich prüfen, ob der gefundene Extremwert global
> ist?
Es ist f(-1,0)=1 und f(2,4) =4. Damit hat f in (-1,0) kein globales Maximum.
FRED
>
> Mein Ansatz:
> Grenzwertbetrachtung, wenn x und y jeweils gegen unendlich
> bzw. minus unendlich gehen. Doch weiß ich nicht, wie ich
> diesen ausrechnen kann und ob dieses Kriterium das Richtige
> ist.
>
> Wir haben uns im Kurs auch nicht mit Randlösungen
> beschäftigt, ich brauche also nur ein Kriterium, womit ich
> sagen kann, dass ein lokales Extremum auch global ist. Wo
> dieses dann liegt (etc.) ist nicht wichtig.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:28 Di 29.03.2011 | | Autor: | cr42 |
okay, also das mit einem Gegenbeispiel habe ich verstanden.
Aber wie gehe ich dann im umgekehrten Fall vor? Wenn ich also ein globales Maximum habe, aber in meiner Hessematrix noch lauter [mm] x^n [/mm] und [mm] y^m [/mm] sind. Gibt es hier auch einen "einfachen Weg"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> okay, also das mit einem Gegenbeispiel habe ich verstanden.
> Aber wie gehe ich dann im umgekehrten Fall vor? Wenn ich
> also ein globales Maximum habe, aber in meiner Hessematrix
> noch lauter [mm]x^n[/mm] und [mm]y^m[/mm] sind. Gibt es hier auch einen
> "einfachen Weg"?
Ich verstehe Deine Frage nicht.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Do 31.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Maximas Töchter![[]](http://www.google.ch/imgres?imgurl=http://www.royaltyinthenews.com/wp-content/uploads/2010/07/Amalia-Alexia-Ariane.jpg&imgrefurl=http://www.royaltyinthenews.com/category/netherlands/page/4/&h=610&w=581&sz=81&tbnid=Q9afywOexasbKM:&tbnh=136&tbnw=130&prev=/search%3Fq%3Damalia%2Balexia%2Bariane%26tbm%3Disch%26tbo%3Du&zoom=1&q=amalia+alexia+ariane&usg=__oSr-RqCU4Qna86nqvNhKj-OMn54=&sa=X&ei=ahqSTauVAc6RswaN6ZTQBg&ved=0CDEQ9QEwAw){kind=small}
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