lokale/globale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 12.07.2011 | | Autor: | makey |
Hallo, ich habe eine Frage zu Extrema von funktionen mehrerer Veränderlichen, und zwar:
Ich weiß, wenn die Hessematrix an kritischen Punkten positiv/negativ definit ist, dass die Funktion ein (zumindest) lokales Minimum/Maximum hat.
Ich weiß auch, wenn die Hessematrix an einer kritischen Stelle indefinit ist, dass es dann kein Extremum sondern nur ein Sattelpunkt dort gibt.
Aber was ist, wenn die Hessematrix semidefinit ist? Dann kann es noch ein Extremum geben, richtig? Aber wie finde ich das heraus?
Hat das etwas mit der Niveaumenge zu tun? Und wie soll ich die Niveaulinien interpretieren? Wird für diese Menge {x|f(x)=c} immer nach y aufgelöst wenn y in der Funktion vorhanden ist?
Und wenn ich dann alle lokalen Extrema definiert hab, wie weiß ich nun, ob es sich hier um ein lokales oder globales Extrema handelt?
Ich hoffe es gibt jemand hier der versteht wo mein Problem liegt, und mir ein bisschen auf die Sprünge helfen kann...
Gruß Makey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Di 12.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
erst zur 2 ten Frage:
a) das Gebiet auf dem du f untersuchst hat keinen Rand: berechne den Wert aller Maxima und Minima das größte max ist das globale, das kleinst min ist das globale.
b) mit Rand (kann auch [mm] \infty [/mm] sein) wie in a) und dann mit größtem bzw kleinsten Wert auf dem Rand vergleichen, eine fkt, die für x,y gegen infty geht hat z. bsp nur lokale max.
zur ersten Frage, man untersucht die werte der fkt in der Umgebung des fraglichen Punktes, sind sie alle größer ists ein Min. bei f(x,y) kan man auch in der gegend ders punktes f(x,ax) untersuchen, wenn diese 1 d fkt in dem punkt für alle a ein max hat, dann ists ein max, wenn sie nur in einigen Richtungen ein max hat dann ists keines.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 12.07.2011 | | Autor: | makey |
danke für die Erklärung, aber ehrlich gesagt, ich habe garnichts verstanden, und bin kein Stück weiter als vorhin...
Also das mit den globalen/lokalen leuchtet mir ein, aber was ich nun tun soll wenn die Hessematrix semidefinit ist weiß ich immer noch nicht...
Und ob das nun etwas mit der Niveaumenge zu tun hat auch nicht...
Hat vielleicht noch einer eine Anschaulichere Erklärung?
Gruß Makey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mi 13.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
ich versuchs noch mal anschaulich: dazu das bild eines "Affensattels"
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] f(x,y)=x^3-xy^2
[/mm]
da bekommst du in 0 einen nicht entscheidbaren Punkt.
dann schneidet man mit der Ebene y=0 und findet in der Kurve einen Sattel, schneidet man mit der zy Ebene (x=0 eine Gerade, scnneidet man senkrecht dazu, (z=0) man hat man [mm] y=x^2 [/mm] alo ein Min. in noch anderen richtungen einen Sattel, das meinte ich damit, du solltest nur 1 d kurveb durch den Punkt ansehen.
anderer Weg du lässt x constant und änderst y und umgekehrt
und siehst ob die kurve steigt oder fällt oder die eine das tut, die andere was anderes,
das andere ist eben [mm] f(x_0\pm [/mm] epsilon [mm] my_0\pm \epsilon) [/mm] zu untersuchen wenn die alle < [mm] f(x_0,y_0) [/mm] sind hat man ein Max usw.
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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