lokale, globale Extremstelle? < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Blubie |
Hallo, ich bin im Internet auf folgende Aufgabe samt Lösung gestoßen: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/loesung/loesung684/
Man berechnet hier "ganz normal die Extremstellen unter einer Nebenbedingung. Aber Extremstelle ist ja nicht gleich Extremstelle. Mich verwirren nun die folgenden drei Begriffe:
lokales Maximum, globales Maximum und absolutes Maximum? Was ist hier der Unterschied?
Mit Lagrange kann man ja auf ein lokales Maximum unter einer Nebenbedingung schließen. Aber in der Lösung auf dieser Seite schließt er von den lokalen Extremstellen direkt auf die globale Extremstelle. Warum ist hier die lokale auch die globale Extremstelle? An den "Randpunkten" (wie im 2-Dimensionalen" könnte doch noch ein größerer Wert sein.
Und noch eine Frage: Kann man, wenn man ein offenes bzw. nicht kompaktes Intervall als Definitionsmenge hat, direkt darauf schließen, dass es nur lokale Extremstellen und keine globalen gibt? Mal davon abgesehen was eine globale Extremstelle jetzt genau ist.
Das wäre wirklich toll, wenn mir da jemand Aufklärung bringen könnte.
Gruß
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Hallo,
globales Maximum [mm] \gdw [/mm] absolutes Maximum
lokales Maximum [mm] \gdw [/mm] relatives Maximum [mm] \gdw [/mm] "links" und "rechts" von der Stelle [mm] x_0 [/mm] sind die Werte in unmittelbarer Umgebung kleiner
Beispiel: ![[]](/images/popup.gif) Bild
mfg
oktollber
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Blubie |
Danke soweit aber das beantwortet noch nicht alle Fragen, die ich gestellt habe. Ich fasse sie hier noch einmal zusammen:
1.) Warum kann in der gegebenen Aufgabe vom lokalen Maximum auf das globale geschlossen werden, obwohl Lagrange ja nur für lokale Extremstellen gut ist. Worauf beruht das?
2.) Wenn man eine offene bzw. nicht kompakte Definitionsmenge hat, kann man dann direkt daraus folgern, dass es nur lokale Extremstellen gibt?
3.) Ich habe einen Satz im Skript der sagt: ist der Definitionsbereich kompakt und die Funktion stetig, so nimmt die Funktion auf diesem Definitionsbereich ein Maximum und ein Minimum an. Meint man hier global?
Vielen Dank für deine bzw. eure Bemühungen :)
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Hallo,
zur Kompaktheit: Ich gehe mal davon aus, dass du die Kompaktheit der Logik meinst. d.h. aus Aussagen über eine Teilmenge folgt die
unendliche Menge. Deshalb würde ich den Satz als globales Extrema
interpretieren.
Bzgl. der anderen Fragen muss wohl jemand anderes weiter machen.
So viel Analysis habe ich noch nicht gemacht. ;)
mfg
oktollber
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Blubie |
Ich danke Dir und hoffe, dass mir jemand bei den Fragen noch weiterhelfen kann :)
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> Ich danke Dir und hoffe, dass mir jemand bei den Fragen
> noch weiterhelfen kann :)
Ich hoffe, die sind mit meiner anderen Antwort erledigt.
Gruß
Leonhard
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Hallo,
> Danke soweit aber das beantwortet noch nicht alle Fragen,
> die ich gestellt habe. Ich fasse sie hier noch einmal
> zusammen:
>
> 1.) Warum kann in der gegebenen Aufgabe vom lokalen Maximum
> auf das globale geschlossen werden, obwohl Lagrange ja nur
> für lokale Extremstellen gut ist. Worauf beruht das?
Mit dem Lagrange-Ansatz wird ja ein Extremum auf der Kreislinie gesucht; diese hat aber kein Ende und Anfang, daher ist auf der Kreislinie jedes globale Extremum auch ein lokales (sofern man eine differenzierbare Funktion betrachtet), d.h, ein globales Extremum ist unter den lokalen zu suchen.
> 2.) Wenn man eine offene bzw. nicht kompakte
> Definitionsmenge hat, kann man dann direkt daraus folgern,
> dass es nur lokale Extremstellen gibt?
Nein, z.B. hat doch die Funktion
$f: (-1,1) [mm] \to \IR$
[/mm]
[mm] $x\mapsto [/mm] 1$
eine offene/nicht kompakte Definitionsmenge, aber ein lokales Maximum (nämlich 1).
Anderes Beispiel, falls dir das zu extrem war:
$f: (-1,1) [mm] \to \IR$
[/mm]
[mm] $x\mapsto x^2$
[/mm]
Hat ein lokales (und globales) Minimum (aber kein Maximum, weder lokal noch global).
> 3.) Ich habe einen Satz im Skript der sagt: ist der
> Definitionsbereich kompakt und die Funktion stetig, so
> nimmt die Funktion auf diesem Definitionsbereich ein
> Maximum und ein Minimum an. Meint man hier global?
Ja! Maximum und Minimum sind ohne den Zusatz "lokal" immer global gemeint.
Ich hoffe, das beantwortet deine Fragen!
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Extrema_example_de.svg){kind=small}
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