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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - lokalen Extrema bestimmen
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lokalen Extrema bestimmen: Kandidaten für lokale Extrema:
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Fr 08.12.2006
Autor: merke

alle lokalen Extrema und sattelpunkte sollen bestimmt werden

F(x,y) [mm] =x^3-x^2-6x*y^2+9*y^4 für(x,y)eR^2 [/mm]

sind nur diese Punkte oder gibt es noch mehr Kandidaten?

(x1,y1)=(0,0)      (x2,y2)=(4/3,2/3)      (x3,y3)=(4/3,-2/3)  


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:19 Sa 09.12.2006
Autor: merke

Kann bitte bitte  mir jemand antworten?

Bezug
        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 Sa 09.12.2006
Autor: angela.h.b.


> alle lokalen Extrema und sattelpunkte sollen bestimmt
> werden
>
> F(x,y) [mm]=x^3-x^2-6x*y^2+9*y^4 für(x,y)eR^2[/mm]
>  
> sind nur diese Punkte oder gibt es noch mehr Kandidaten?
>  
> (x1,y1)=(0,0)      (x2,y2)=(4/3,2/3)      
> (x3,y3)=(4/3,-2/3)  

Hallo,

ich habe andere Punkte als Kandidaten berechnet, und zwar nur zwei.
Wenn Du Deinen Lösungsweg gepostet hättest. hätte ich gucken können, wer wo was falsch rechnet.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:00 Sa 09.12.2006
Autor: merke

Hallo Angela

[mm] F(x,y)=x^3-x^2-6xy^2+9y^4 [/mm]

[mm] df/dx=3x^2-2x-6y^2 [/mm]
[mm] df/dy=-12xy+36y^3 [/mm]

I  [mm] 3x^2-2x-6y^2=0 [/mm]
II [mm] -12xy+36y^3=0 y(-12x+36y^2)=0 [/mm]    y1=0

(I)  [mm] 3x^2-2x-6y^2=0 [/mm]    
[mm] 3x^2-2x-6*0^2=0 [/mm]    
[mm] 3x^2-2x=0 [/mm]  
x(3x-2)=0  
3x-2=0      x=2/3
(x1,y1)=(0,0)      (x2,y2)=(2/3,0) das habe ich zusätzlich noch

(II)    [mm] -12x+36y^2=0 36y^2=12x y^2=1/3x [/mm]

(I)   [mm] 3x^2-2x-6y^2=0 3x^2-2x-6*(1/3x)^2=0 3x^2-2x-2x=0 [/mm]

[mm] 3x^2-4x=0 [/mm]     x(3x-4)=0            3x-4=0     3x=4     x=4/3    


(II)  [mm] y^2=1/3x y^2=1/3*4/3 y^2==4/9 [/mm]      y=+-2/3

(x3,y3)=(4/3,2/3)        (x4,y4)=(4/3,-2/3)  

ich habe jetzt vier Kandidaten

liebe grüße merke
  



Bezug
                        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 Sa 09.12.2006
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Deine vier Punkte habe ich jetzt(!) auch.

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Sa 09.12.2006
Autor: merke

lokalen Extrema und Sattelpunktebestimmen
Andre Funktion [mm] F(x,y)=x^4-2x^2+4xy+y^4-2y^2 [/mm]

Ich habe folgenden Kandidaten:
(x1,y1)=(0,0) ; (x2,y2)=(1,0) und  (x3,y3)=(-1,0)


Angela kanst  Du  bitte noch dieser Kandikaten  überprüfen ob sie richtig sind?  



Bezug
                                        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 So 10.12.2006
Autor: angela.h.b.


> lokalen Extrema und Sattelpunktebestimmen
>  Andre Funktion [mm]F(x,y)=x^4-2x^2+4xy+y^4-2y^2[/mm]
>  
> Ich habe folgenden Kandidaten:
> (x1,y1)=(0,0) ; (x2,y2)=(1,0) und  (x3,y3)=(-1,0)
>
>
> Angela kanst  Du  bitte noch dieser Kandikaten  überprüfen
> ob sie richtig sind?  

Hallo,

mein Gradient ist [mm] (4x^3-4x+4y, 4x+4y^3-4y), [/mm]

und hieraus erhalte ich andere Werte.

Gruß v. Angela



Bezug
                                                
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Di 12.12.2006
Autor: merke

morgen muss ich abgeben und ich weiss nicht wie ich auf die richtige lösung komme. kanst Du bitte mir sagen wie es geht?

Bezug
                                                        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Mi 13.12.2006
Autor: angela.h.b.


> morgen muss ich abgeben und ich weiss nicht wie ich auf die
> richtige lösung komme.

Hast Du denn dieselben partiellen Ableitungen?

Die müssen =0 gesetzt werden, und die Gleichungen aufgelöst.

Was hast du denn gerechnet, vielleicht hast du Dich nur etwas verrechnet? Man macht doch leicht mal Vorzeichenfehler o.ä.

Gruß v. Angela

Bezug
                                                                
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Mi 13.12.2006
Autor: merke

  
Hallo Angela
Die Übung habe ich heute abgegeben.
Ich hatte aber noch zwei zusätzliche Kandidaten gefunden.
Und damit hatte ich insgesamt.
(x1,y1)=(0,0)         (x2,y2)=(0,1)       (x3,y3)=(0,-1)    
(x4,y4)=(-wurzel(2),  +wurzel(2))          
und   (x5,y5)=(wurzel(2),  -wurzel(2))            

Ich hoffe, dass sie alle richtig sind.

Und damit hatte ich in Punkt  (x4,y4) und (x5,y5) lokales Minimum
In Punkt (x2,y2) und (x3,y3) Sattelpunkt
In Punkt (x1,y1)=0  keine Aussage möglich  

Liebe grüße merke


Bezug
                                                                        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Mi 13.12.2006
Autor: angela.h.b.


>    
>
> Und damit hatte ich insgesamt.
> (x1,y1)=(0,0)         (x2,y2)=(0,1)       (x3,y3)=(0,-1)    
>  
> (x4,y4)=(-wurzel(2),  +wurzel(2))          
> und   (x5,y5)=(wurzel(2),  -wurzel(2))            
>
> Ich hoffe, dass sie alle richtig sind.

Wenn Du diese  (x2,y2)=(0,1)       (x3,y3)=(0,-1)  in die partielle Ableitung einsetzt, kommt aber nicht (0,0) heraus, vorausgesetzt, ich habe mich bei der Ableitung nicht vertan.

Die anderen sehen gut aus.

Gruß v. Angela



Bezug
                                                                                
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Mi 13.12.2006
Autor: merke

Um zu überprüfen muss ich in Partielle Ableitung einsetzen. Das wusste ich nicht Danke  
[mm] F(x,y)=x^4-2x^2+4xy+y^4-2y^2 [/mm]  

[mm] df/dx=4x^3-4x+4y=0 [/mm]
[mm] df/dy=4x+4y^3-4y=0 4y=4x+4y^3 [/mm]

II   [mm] 4x+4y^3-4y=0 [/mm]        df/dy(0,1)= [mm] 4*0+4*1^3-4*1=0 [/mm]       stimmt

II  [mm] 4x+4y^3-4y=0 [/mm]        df/dy(0,-1)= [mm] 4*0+4(-1)^3-4*(-1)=0 [/mm]      stimmt

also dann richtig  

df/dy(0,0)=0   stimmt

df/dy(-wurzel(2) , wurzel(2)) =0   stimmt

df/dy(wurzel(2) , -wurzel(2))        ungleich 0       muss ich dann hier df/dx einsetzen oder wie?    
aber
df/dx(wurzel(2) , -wurzel(2)) = 0  stimmt       was sagst Du dazu, hier kommt df/dx =0

leibe grüße merke


Bezug
                                                                                        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Mi 13.12.2006
Autor: angela.h.b.


> Um zu überprüfen muss ich in Partielle Ableitung einsetzen.
> Das wusste ich nicht Danke  

Hm. Jetzt bin ich etwas irritiert.
Man kriegt die "Kandidaten doch, indem man die partiellen Ableitungen =0 setzt.

Das Einsetzen der Kandidaten ist die Probe.  Hast Du einen Kandidaten (a,b) gefunden, so muß doch df/dx(a,b)=0 sein UND df/dy(a,b)=0.


> [mm]F(x,y)=x^4-2x^2+4xy+y^4-2y^2[/mm]  
>
> [mm]df/dx=4x^3-4x+4y=0[/mm]
>  [mm]df/dy=4x+4y^3-4y=0 [/mm]

Aha. Unsere partiellen Ableitungen stimmen überein.

Es werden doch nun diejenigen (x,y) gesucht, für welche
[mm] 4x^3-4x+4y=0 [/mm] und [mm] 4x+4y^3-4y=0 [/mm]

Addition der Gleichungen ergibt [mm] 4x^3-+4y^3=0 [/mm]  ==> x=-y

Einsetzen in die erste Gleichung [mm] 0=4x^3-4x-4x=4x(x^2-2) [/mm]  ==> x=0 oder [mm] x=\wurzel{2} [/mm] oder [mm] x=-\wurzel{2} [/mm] und hieraus die Punkte

(0,0), [mm] (\wurzel{2},-\wurzel{2}), (-\wurzel{2},\wurzel{2}). [/mm]

Und wenn Du diese einsetzt, sind die partiellen Ableitungen in der Tat jeweils =0.

Gruß v. Angela

Bezug
                                                                                                
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 Mi 13.12.2006
Autor: merke

„wenn Du diese einsetzt, sind die partiellen Ableitungen in der Tat jeweils =0“

Hier trifft dieser Satz nicht zu denn      df/dy(wurzel(2) , -wurzel(2))        ungleich Null
          
Nur wenn ich in  df/dx(wurzel(2) , -wurzel(2)) = 0  bekomme ich 0.

Also es sind nicht beide partielle Ableitungen =0
Oder habe ich was nicht verstanden

leibe grüße merke


Bezug
                                                                                                        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Mi 13.12.2006
Autor: angela.h.b.


> „wenn Du diese einsetzt, sind die partiellen Ableitungen in
> der Tat jeweils =0“
>  
> Hier trifft dieser Satz nicht zu denn      [mm] df/dy(\wurzel(2) [/mm]
> , [mm] -\wurzel(2)) [/mm]        ungleich Null
>
> Nur wenn ich in  [mm] df/dx(\wurzel(2) [/mm] , [mm] -\wurzel(2)) [/mm] = 0  bekomme
> ich 0.
>
> Also es sind nicht beide partielle Ableitungen =0

Es ist [mm] df/dy=4x+4y^3-4y, [/mm]

also [mm] df/dy(\wurzel(2) [/mm] , [mm] -\wurzel(2))=4\wurzel(2)+4*(-2)\wurzel(2)+4\wurzel(2)=0. [/mm]

Gruß v. Angela






Bezug
                                                                                                                
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 Mi 13.12.2006
Autor: merke

$ [mm] df/dy=4x+4y^3-4y=0, [/mm] $     so weit sind wir einig   aber    
$ [mm] df/dy(\wurzel{2} [/mm] $$ [mm] -\wurzel{2})=$ [/mm]  
4*wurzel(2) [mm] +4*(-wurzel(2))^3-4*(-wurzel(2) [/mm] =8*wurzel(2)-4*2^(3/2)

leibe grüße merke

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:51 Do 14.12.2006
Autor: angela.h.b.


> [mm]df/dy=4x+4y^3-4y=0,[/mm]     so weit sind wir einig   aber    
> [mm]df/dy(\wurzel{2}[/mm][mm], -\wurzel{2})=[/mm]  
> [mm] 4*\wurzel(2)[/mm]  [mm]+4*(-\wurzel(2))^3-4*(-\wurzel(2)[/mm]
> [mm] =8*\wurzel(2)-4*2^{3/2} [/mm]
>
> leibe grüße merke  

Mannomann...

=0  !!!

Könnte es sein, daß Du [mm] (\wurzel(2))^3 [/mm] nicht berechnen kannst? Es ist [mm] =2\wurzel(2). [/mm]

Gruß v. Angela



Bezug
                                                                                                                                
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Do 14.12.2006
Autor: merke

da ist doch  4*(-wurzel(2))     ein Minus Zeichen

rechne doch mit TI dann siehst Du das da kein 0 raus kommt

mfg  merke

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Fr 15.12.2006
Autor: angela.h.b.

[mm] df/dy=4x+4y^3-4y [/mm]

Jetzt betrachten wir den Punkt [mm] (\wurzel{2} [/mm]  , [mm] -\wurzel{2}), [/mm] also x=  [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] y=-\wurzel{2}: [/mm]

Es ist [mm] 4\wurzel{2}+4*(-\wurzel{2})^3-4*(-\wurzel{2})=4\wurzel{2}-4*2\wurzel(2)+4\wurzel(2)=0. [/mm]

Gruß v. Angela

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 Fr 15.12.2006
Autor: merke



$ [mm] 4\wurzel{2}+4\cdot{}(-\wurzel{2})^3-4\cdot{}(-\wurzel{2}) [/mm] ungleich [mm] 4\wurzel{2}-4\cdot{}2\wurzel{2}+4\wurzel{2}=0. [/mm] $


Ich weis wo du dein Fehler hast  
[mm] 4*(-wurzel(2))^3 [/mm] ist nicht gleich -4*2*wurzel(2)

Wenn das gleich gewesen währe dann hättest du recht.  

Liebe grüsse merke


Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:42 Fr 15.12.2006
Autor: angela.h.b.


>
>
> [mm]4\wurzel{2}+4\cdot{}(-\wurzel{2})^3-4\cdot{}(-\wurzel{2}) ungleich 4\wurzel{2}-4\cdot{}2\wurzel{2}+4\wurzel{2}=0.[/mm]
>  
>
> Ich weis wo du dein Fehler hast  
> [mm]4*(-wurzel(2))^3[/mm] ist nicht gleich -4*2*wurzel(2)
>
> Wenn das gleich gewesen währe dann hättest du recht.  
>
> Liebe grüsse merke


Hallo,

allmählich frage ich mich wirklich, ob Du in der Mittelstufe geschlafen hast, oder ob Du mich provozieren möchtest.

Gruß v. Angela


>  


Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:51 Sa 16.12.2006
Autor: leduart


>
> Ich weis wo du dein Fehler hast  
> [mm]4*(-wurzel(2))^3[/mm] ist nicht gleich -4*2*wurzel(2)

DAS IST GLEICH! Schreibs aus!
[mm] (-wurzel(2))^3=((-wurzel(2)*(-wurzel(2))*(-wurzel(2)) [/mm]
Gute Nacht leduart

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
lokalen Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:45 Sa 16.12.2006
Autor: merke

OK jetzt ist mir klar. mein Fehler war, dass ich mich auf TI verlasen habe,
denn wenn ich $ [mm] 4\wurzel{2}+4\cdot{}(-\wurzel{2})^3-4\cdot{}(-\wurzel{2}) [/mm] =$  eingegeben habe kam 8*wurzel(2) – 4*2^(3/2)
und ich habe aber nicht bemärkt, dass das  8*wurzel(2) – 4*2^(3/2)=0 ist

mir ist trotzt ein Rätsel warum mein TI so ein blödes Ergebnis  gibt.  Und nicht gleich 0 rechnet.

Aber wenn ich so eingebe $ [mm] 4\wurzel{2}-4\cdot{}(\wurzel{2})^3-4\cdot{}(-\wurzel{2}) [/mm] =$  kommt =0 raus

Liebe Angela ich wollte dich auf keinen fall provozieren wo du dir so viel mühe gegeben hast bis ich verstanden habe. Jetzt kann ich dein Regel „wenn Du diese einsetzt, sind die partiellen Ableitungen in der Tat jeweils =0“  immer benutzen.

Vielen dank noch einmal an Angela

Und danke für den Tipp leduart  


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