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Hallo
um ein Maximum oder Minimum zu überprüfen muss ich die nächste Ableitung der Funktion bilden und wenn sich dort das Vorzeichen ändert ist das Maximum oder Minimum der vorherigen Funktion bestädtigt. Ich würde gerne wissen woran ich den Vorzeichenwechsel erkennen kann? Setze ich x(0) in die nächste Ableitung ein ?
cbm.engel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Di 25.04.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo cbm.engel,
> um ein Maximum oder Minimum zu überprüfen muss ich die
> nächste Ableitung der Funktion bilden und wenn sich dort
> das Vorzeichen ändert ist das Maximum oder Minimum der
> vorherigen Funktion bestätigt.
Nicht ganz so.
Wenn Du direkt den Vorzeichenwechsel untersuchst, musst Du die selbe Ableitung, also die erste, nehmen.
Dann setzt Du zwei "benachbarte" x-Werte in diese Ableitung ein und betrachtest das Vorzeichen.
Wenn die Extremstelle bei [mm] $x_E$ [/mm] liegt, berechnest Du also beispielsweise [mm] $f'(x_E-1)$ [/mm] und [mm] $f'(x_E+1)$. [/mm] Wichtig ist dabei nur, dass zwischen der Extremstelle und diesen "Nachbarstellen" keine weitere Extremstelle liegt.
Wenn sich das Vorzeichen von links Minus nach rechts Plus ändert, heist das ja, dass die Steigung links vom Extremum negativ ist, also fallend, und rechts steigend, Du hast dort also ein Minimum.
> Setze ich x(0) in die nächste Ableitung ein ?
(Ich schätze, mit x(0) meinst Du die Extrmstelle, ich nenne die mal stattdessen [mm] $x_E$.)
[/mm]
Das ist die zweite Möglichkeit.
Wenn [mm] $f''(x_E) [/mm] > 0$, dann liegt ein Minimum vor (und umgekehrt).
Das läuft freilich auf den gleichen Sachverhalt wie in der ersten Möglichkeit hinaus:
Ist die zweite Ableitung positiv, so ist die erste also steigend. Da die erste ja bei [mm] $x_E$ [/mm] gleich null ist, muss sie also links davon negativ und rechts davon positiv sein.
Schöne Grüße,
ardik
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