(lokales&globales)Maximum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 So 20.03.2005 | | Autor: | Helpme |
Hallo!
Ich bräuchte mal eure HIlfe,eiegtnlich dachte ich ja ich weiß was maximum,supremum und lokales maximum ist,aber irgendwie scheine ich das jetzt doch nicht zu wissen.In dem Skript steht folgendes
1.f nimmt in x*sein Maximum y*(y*=zahl zwischen f(a)undf(b))an,wenn
f(x*)=y* [mm] \ge [/mm] f(x) für alle x [mm] \in [/mm] D
2.y* ist das Supremum von f,wenn gilt
(a) f(x) [mm] \le [/mm] y* für alle E D
(b) Es gibt eine Folge [mm] (x_{k}) [/mm] in D mit
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} f(x_{k})=y*
[/mm]
3.f nimmt in x* ein lokales Maximum an,wenn es ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt,so dass f(x*) [mm] \ge [/mm] f(x)für alle x E D mit [mm] \vmat{ x & -x*} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
das klingt für mich alles so chinesisch,kann mir bitte jemand erklären was die Sätze eigfentlich bedeuten?Ich finde auch im Internet keine gescheite Erklärung über Supremum(das Supremum ist doch ein globales Maximum,oder?),(lokales)Maximum.
Schon mal danke für jegliche Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 So 20.03.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo!
Ich versuche mal, den Unterschied zwischen Supremum und Maximum zu erklären:
Für eine beliebige, nichtleere Menge reeller Zahlen A gilt:
max A = {s [mm] \in [/mm] A | s [mm] \ge [/mm] x [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A}, also die intuitive Auffassung, die man wohl von einem Maximum hat.
sup A = [mm] {\sigma | \sigma > a, \forall a \in A ( a \neq \sigma) \wedge \exists \varepsilon > 0: \sigma - \varepsilon \in A}
[/mm]
soviel zur strengen Definition.
Also, das Supremum ist manchmal das Maximum einer Menge A, aber nicht immer!!! Ein Beispiel zur Veranschaulichung:
Betrachten wir das Intervall [0,1]. Hier ist 1 sowohl das Maximum als auch das Supremum.
Das Intervall ]0,1[ jedoch besitzt kein globales Maximum, sondern das Supremum 1. (Hier ist eben auch die Definition mit der Folge aus deinen Notizen sehr schön).
Beim Betrachten von Funktionen ist die Menge A natürlich die Bildmenge.
Ich hoff, es hat dir geholfen!
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