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| Aufgabe | | Diagonalisiere [mm] A=\pmat{-50&0&0\\0&9&-12\\0&-12&66} [/mm] |
ICh habe bei dieser Aufgabe ein problem:
Das char Polynom ist [mm] P_{A}(x)=-x(50+x)(x-25)
[/mm]
doch kann das irwie nicht sein, denn für Eig(A,0) kommt dann nur der Nullvektor raus.
Ich hab folgendermaßen gerechnet:
[mm] P_{A}(x)=-(50+x)*det\pmat{9-x&-12\\-12&16-x} [/mm] hab nach 1.Zeile entwickelt
[mm] =-(50+x)(x^{2}-25x)=-x(50+x)(x-25)
[/mm]
wo ist mein fehler?
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Hallo hannahmaontana,
> Diagonalisiere [mm]A=\pmat{-50&0&0\\0&9&-12\\0&-12&66}[/mm]
> ICh habe bei dieser Aufgabe ein problem:
> Das char Polynom ist [mm]P_{A}(x)=-x(50+x)(x-25)[/mm]
> doch kann das irwie nicht sein, denn für Eig(A,0) kommt
> dann nur der Nullvektor raus.
> Ich hab folgendermaßen gerechnet:
> [mm]P_{A}(x)=-(50+x)*det\pmat{9-x&-12\\-12&16-x}[/mm]
Oben steht statt 16 noch 66, was ist es denn nun?
> hab nach
> 1.Zeile entwickelt
> [mm]=-(50+x)(x^{2}-25x)=-x(50+x)(x-25)[/mm]
> wo ist mein fehler?
Wenn oben tatsächlich 16 steht im Matrixeintrag [mm] $a_{33}$, [/mm] dann ist das char. Polynom richtig!
Und mit dem Eintrag 16 statt 66 ergibt sich auch zum Eigenwert 0 eine Nullzeile in der dritten Zeile, also alles in Ordnung ...
Ich vermute, du hast beim Einsetzen des Eigenwertes diesen Schreibfehler 66 statt 16 mitgeschleift und bekamst deshalb nur die triviale Lösung für den Eigenwert 0 heraus...
LG
schachuzipus
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> Oben steht statt 16 noch 66, was ist es denn nun?
hab mich vertippt, das soll 16 heißen.
jedenfalls muss man bei 0 als eigenwert das homogen Gleichungssystem von der matrix ausrechnen.
da sieht man doch schon auf den ersten blick:
x=0 wegen -50x+0y+0z=0
ansonsten muss sowohl 9y-12z=0 und -12y+16=0 gelten und das geht nur wenn auch y=0 und z=0.
aber das kann doch eigentlich nicht sein, weil die matrix symmetrisch, also auch reel diagbar ist.
aber dann brauch ich auch ne invertierbare matrix S mit [mm] D=S^{-1}AS [/mm] und D ist die diagonalform.
Nur kann ich doch ne matrix in der eine spalte null ist nicht invertieren.
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Hallo hannahmaontana,
> >
> > Oben steht statt 16 noch 66, was ist es denn nun?
>
> hab mich vertippt, das soll 16 heißen.
>
> jedenfalls muss man bei 0 als eigenwert das homogen
> Gleichungssystem von der matrix ausrechnen.
> da sieht man doch schon auf den ersten blick:
> x=0 wegen -50x+0y+0z=0
> ansonsten muss sowohl 9y-12z=0 und -12y+16=0 gelten und
> das geht nur wenn auch y=0 und z=0.
Die Gleichungen
[mm]9y-12z=0[/mm]
[mm]-12y+16z=0[/mm]
haben dieselben Lösungsmengen, da die zweite Gleichung
aus der ersten Gleichung durch Multiplikation von [mm]-\bruch{4}{3}[/mm] hervorgeht.
Dann hast Du die Lösungsmenge von
[mm]9y-12z=0[/mm]
zu bestimmen.
Daraus erhältst Du dann unendlich viele Lösungen,
da eine Gleichung und zwei Unbekannte vorhanden sind.
>
> aber das kann doch eigentlich nicht sein, weil die matrix
> symmetrisch, also auch reel diagbar ist.
> aber dann brauch ich auch ne invertierbare matrix S mit
> [mm]D=S^{-1}AS[/mm] und D ist die diagonalform.
> Nur kann ich doch ne matrix in der eine spalte null ist
> nicht invertieren.
>
Gruss
MathePower
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