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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - matrixbestimmung
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matrixbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Mo 27.04.2009
Autor: simplify

Aufgabe
Sei K ein Körper, B [mm] \in [/mm] M(nxn;K) und f : M(nxn;K) [mm] \to [/mm] M(nxn;K) die durch f(A) = BA definierte Abbildung.
1. Bestimme eine Matrix C von f.
2. Zeige, dass det C = (det [mm] B)^{n}. [/mm]

hallo,
ich da ein großes problem mit der aufgabe, um genau zu sein bin ich etwas überfordert.meine C matrix muss doch als spaltenvektoren die basen der abbildung enthalten ,oder? ein kleiner denkanstoß wäre nicht schlecht.


        
Bezug
matrixbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:27 Di 28.04.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Sei K ein Körper, B [mm]\in[/mm] M(nxn;K) und f : M(nxn;K) [mm]\to[/mm]
> M(nxn;K) die durch f(A) = BA definierte Abbildung.
>  1. Bestimme eine Matrix C von f.
>  2. Zeige, dass det C = (det [mm]B)^{n}.[/mm]
>
>  hallo,
>  ich da ein großes problem mit der aufgabe, um genau zu
> sein bin ich etwas überfordert.meine C matrix muss doch als
> spaltenvektoren die basen der abbildung enthalten ,oder?
> ein kleiner denkanstoß wäre nicht schlecht.

Ich glaub genau diese Aufgabe hatten wir schonmal.

Vielleicht erstmal ein Beispiel: naemlich der Fall $n = 2$.

Die einfachste Basis von $M(2 [mm] \times [/mm] 2; K)$ ist wohl [mm] $A_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }$, $A_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }$, $A_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }$ [/mm] und [mm] $A_4 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }$. [/mm]

Jetzt musst du [mm] $f(A_1), \dots, f(A_4)$ [/mm] bestimmen und das Ergebnis jeweils als Linearkombination von [mm] $A_1, \dots, A_4$ [/mm] schreiben.

Ist etwa $B = [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} }$, [/mm] so ist [mm] $f(A_1) [/mm] = B [mm] A_1 [/mm] = [mm] \pmat{ b_{11} & 0 \\ b_{21} & 0 } [/mm] = [mm] b_{11} A_1 [/mm] + [mm] b_{21} A_2$, $f(A_2) [/mm] = B [mm] A_3 [/mm] = [mm] \pmat{ b_{12} & 0 \\ b_{22} & 0 } [/mm] = [mm] b_{12} A_1 [/mm] + [mm] b_{22} A_2$, $f(A_3) [/mm] = B [mm] A_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & b_{11} \\ 0 & b_{21} } [/mm] = [mm] b_{11} A_3 [/mm] + [mm] b_{21} A_4$ [/mm] und [mm] $f(A_4) [/mm] = B [mm] A_4 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & b_{12} \\ 0 & b_{22} } [/mm] = [mm] b_{12} A_3 [/mm] + [mm] b_{22} A_4$. [/mm]

Damit ist $C = [mm] \pmat{ b_{11} & b_{12} & 0 & 0 \\ b_{21} & b_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b_{11} & b_{12} \\ 0 & 0 & b_{21} & b_{22} }$. [/mm]

Hier kommt man schnell auf [mm] $\det [/mm] C = [mm] (\det B)^2$. [/mm]

So. Und jetzt versuch das mal allgemeiner zu machen. Kannst du eine Basis von $M(n [mm] \times [/mm] n; K)$ angeben? Wie sieht die Matrix von $f$ bzgl. dieser Basis aus?

LG Felix


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