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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - matrixwertige Fkt beschränkt
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matrixwertige Fkt beschränkt: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:12 Sa 16.06.2012
Autor: couldbeworse

Aufgabe
Sei [mm]A:I \rightarrow M(n,\IK)[/mm] eine stetige matrixwertige Funktion definiert auf einem offnene Intervall [mm]I\subseteq \left[ a,\infty\left[ , a\in\IR[/mm]. Zeigen Sie, daß wenn [mm]\left| \left| A(x) \right| \right|[/mm] auf [mm]\left[ a,\infty\left[ [/mm] beschränkt ist und [mm]\phi:I \rightarrow \IK^n[/mm] eine nichtverschwindende Lösung von [mm]y'=A(x)y[/mm], so gilt [mm]\limsup_{x \to \infty} \bruch{ln \left|\left| \phi (x) \right| \right|}{x}< \infty[/mm].

Hallo,

soweit bin ich gekommen:

Da [mm]\phi[/mm] Lösung der DGL ist, gilt  [mm]\phi'(x)=A(x)\phi(x) \Rightarrow \bruch{\phi'(x)}{\phi(x)}=A(x)[/mm], da die Lösung nicht verschwindet. Integration auf beiden Seiten liefert  [mm]ln(\phi(x))=A(x)x[/mm], also für [mm]x\not= 0[/mm] dann [mm]\bruch{ln(\phi(x))}{x}=A(x)[/mm]. Da für [mm]x\rightarrow \infty[/mm] irgendwann gilt [mm]x\ge a[/mm] folgt [mm]\limsup_{x \to \infty} \bruch{ln(\phi (x))}{x}=\limsup_{x \to \infty} A(x)<\infty[/mm]. Jetzt hab ich nur leider nirgendwo die Norm, wie bekomme ich sie mit rein? Stimmt das soweit überhaupt? Kommt mir ein wenig zu einfach vor...
Danke für's drüberschaun!

Grüße
couldbeworse

        
Bezug
matrixwertige Fkt beschränkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 So 17.06.2012
Autor: couldbeworse

Oh mann, Brett vorm Kopf :-)
Hat sich erledigt!

Bezug
        
Bezug
matrixwertige Fkt beschränkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:24 So 17.06.2012
Autor: M.Rex

Hallo.

Schön, dass du selber auf die Lösung gekommen bist, ich habe deine Frage dann mal auf "erledigt" gestellt.

Marius


Bezug
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