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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 So 01.03.2009 | | Autor: | studi08 |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper.bilden die Matrizen (A $ [mm] \in [/mm] $ Mat(n,K): detA=1) eine Gruppe bezüglich Matrizenmultiplikation? |
Meine Behauptung lautet ja,sie bilden eine Gruppe.ich sehe aber momentan keinen Ansatz,wie ich das beweisen kann.
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Hallo studi08,
> Sei K ein Körper.bilden die Matrizen (A [mm]\in[/mm] Mat(n,K):
> detA=1) eine Gruppe bezüglich Matrizenmultiplikation?
> Meine Behauptung lautet ja,sie bilden eine Gruppe.ich sehe
> aber momentan keinen Ansatz,wie ich das beweisen kann.
>
In solchen Situationen ist es immer hilfreich, die Definitionen nachzuschlagen.
Was ist also eine Gruppe?
Was ist zu zeigen?
Die Assoziativität kannst du dir zB. schenken, da die Matrixmultiplikation i.A. schon assoziativ ist.
Bleibt zu zeigen:
(1) Abgeschlossenheit, also dass für je zwei [mm] $A,B\in [/mm] Mat(n.K)$ mit $det(A)=det(B)=1$ gefälligst [mm] $A\cdot{}B\in [/mm] Mat(n,K)$ ist und dass [mm] $det(A\cdot{}B)=1$ [/mm] ist
Was weißt du über die Multiplikativität der Determinante ... ?
(2) ex. neutrales Element. Na, welches ist das wohl?
(3) zu jeder Matrix [mm] $A\in [/mm] Mat(n,K)$ mit $det(A)=1$ ex. eine (die) Inverse [mm] $A^{-1}\in [/mm] Mat(n,K)$ mit [mm] $det(A^{-1})=1$
[/mm]
Was weißt du über den Zusammenhang zw. Determinante und Invertierbarkeit und die Multiplikativität der Determinante ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 So 01.03.2009 | | Autor: | studi08 |
Vielen Dank für deine Tipps!
Zu 1)
$ [mm] det(A\cdot{}B)=1 [/mm] $ detA*det(B)=1*1=1
Wie kann ich aber zeigen,das $ [mm] A\cdot{}B\in [/mm] Mat(n,K) $ ist?
Zu 2)
Logischerweise ist das neutrale Element die Einheitsmatrix.
Zu 3)
$ [mm] det(A^{-1})=1 [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{$ det(A)=1 $}=1
[/mm]
Wie du siehst,bin ich nicht so sattelfest auf diesem Gebiet und deshalb bin ich sehr dankbar für jeden Ratschlag.
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für deine Tipps!
>
> Zu 1)
> [mm]det(A\cdot{}B)=1[/mm] detA*det(B)=1*1=1
> Wie kann ich aber zeigen,das [mm]A\cdot{}B\in Mat(n,K)[/mm] ist?
Das hast du doch hiermit getan. Du hast dir zwei Matrizen A,B hergenommen, die beide det=1 haben, ihr Produkt ist ja ganz offensichtlich wieder [mm] \in [/mm] M(n,K), außerdem hast du gezeigt, dass det(AB)=det(A)det(B)=1 ist, also bestens - fertig!
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> Zu 2)
> Logischerweise ist das neutrale Element die
> Einheitsmatrix. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die hat ja det=1 
der Rest in unleserlich
Was du benutzen solltest: Nimm dir eine beliebige Matrix A [mm] \in [/mm] M(n,K) mit det(A)=1 her
Dann weißt du, dass sie invertierbar ist (da [mm] det(A)\neq [/mm] 0)
Damit ist [mm] $AA^{-1}=E$
[/mm]
Also [mm] $1=det(E)=det(AA^{-1})=\underbrace{det(A)}_{=1}det(A^{-1})$, [/mm] also [mm] $det(A^{-1})=1$, [/mm] damit [mm] $A^{-1}\in [/mm] M(n,K)$ und [mm] $det(A^{-1})=1$
[/mm]
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> Wie du siehst,bin ich nicht so sattelfest auf diesem Gebiet
> und deshalb bin ich sehr dankbar für jeden Ratschlag.
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:23 Mo 02.03.2009 | | Autor: | studi08 |
Vielen Dank für deinen Effort zu dieser nun doch schon fortgeschrittenen Stunde!
Gute Nacht und nochmals herzlichen Dank
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