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Forum "Extremwertprobleme" - max. Flächeninhalt durch k
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max. Flächeninhalt durch k: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 So 03.03.2013
Autor: Schennii

Aufgabe
Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=(4-x)* [mm] e^x [/mm] , hinzu kommt eine weitere Funktion g mit [mm] g(x)=(1-x)*e^x. [/mm]
Die Gerade x=k (k<0) schneidet den Graphen von f in M und den Graphen von g in N. Zusammen mit dem Koordinatenursprung O entsteht ein Dreieck MNO. Ermitteln sie, für welchen Wert von k das Dreieck MNO einen maximalen Flächeninhalt hat.

Um den maximalen Flächeninhalt herauszubekommen, müsste ich das Integral f(x)-g(x) berechnen, mit der unteren Grenze k und der oberen Grenze 0, da in diesem Bereich das Dreieck liegt. F liegt über g, deshalb f(x)-g(x). Jedoch fiel mir auf, dass die beiden Graphen gar kein eigenständiges Dreieck einschließen, als ich die Graphen auf meinem grafikfähigen Taschenrechner anzeigen ließ. Also kann ich dieses Integral ja gar nicht anwenden.
Dann habe ich mir überlegt:

A(k)= 0,5*(f(k)-g(k))*k [mm] =1,5e^k*k [/mm]
also habe ich h(x)= [mm] 1,5e^x*x [/mm] aufgestellt und wollte daran den Hochpunkt errechnen, da der xWert ja k ergeben hätte, der yWert den Flächeninhalt. Doch diese Funktion hat leider keinen Hochpunkt.

Ich weiß nun leider nicht mehr, wie ich weiter verfahren soll
Bitte helft mir!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
max. Flächeninhalt durch k: wie lautet die Ableitung?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 So 03.03.2013
Autor: Loddar

Hallo Schennii,

[willkommenmr] !!


>  Dann habe ich mir überlegt:
>  
> A(k)= 0,5*(f(k)-g(k))*k [mm]=1,5e^k*k[/mm]

[ok]


>  also habe ich h(x)= [mm]1,5e^x*x[/mm] aufgestellt und wollte daran
> den Hochpunkt errechnen, da der xWert ja k ergeben hätte,
> der yWert den Flächeninhalt. Doch diese Funktion hat
> leider keinen Hochpunkt.

Das stimmt so nicht. Es gibt zumindest einen Tiefpunkt für k < 0.
Und das ist der gesuchte Punkt.


Wie lautet denn die 1. Ableitung dieser Funktion?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
max. Flächeninhalt durch k: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 So 03.03.2013
Autor: Schennii

also stimmt meine Überlegung zu h(x) ?

[mm] f'(x)=3*e^x-x*e^x [/mm]

Bezug
                        
Bezug
max. Flächeninhalt durch k: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 21:48 So 03.03.2013
Autor: M.Rex


> also stimmt meine Überlegung zu h(x) ?
>  
> [mm]f'(x)=3*e^x-x*e^x[/mm]  

Nicht ganz

[mm] $h(t)=1,5\cdot t\cdot e^{t}$ [/mm]

hat die Ableitung:
[mm] h'(t)=1,5\cdot(1\cdot e^{t}+1,5t\cdot e^{t}) [/mm]
[mm] =1,5\cdot((1+1,5t)\cdot e^{t}) [/mm]
[mm] =(1,5+2,25t)\cdot e^{t} [/mm]

Marius





Bezug
                                
Bezug
max. Flächeninhalt durch k: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 So 03.03.2013
Autor: Schennii

Ok, also erhalte ich durch die 1. Ableitung von h(x) einen Hochpunkt, dessen x=k ist?!
Und dadurch ist meine Aufageb gelöst, richtig?

Bezug
                                        
Bezug
max. Flächeninhalt durch k: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 So 03.03.2013
Autor: M.Rex


> Ok, also erhalte ich durch die 1. Ableitung von h(x) einen
> Hochpunkt, dessen x=k ist?!
>  Und dadurch ist meine Aufageb gelöst, richtig?

Nein h'(t)=0 wird für ein anderes t zu Null.

Außerdem musst du noch nachweisen, dass es ein Hochpunkt ist.

Marius


Bezug
                                        
Bezug
max. Flächeninhalt durch k: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 So 03.03.2013
Autor: Sax

Hi,

das wäre im Prinzip richtig, wenn h der Flächeninhalt wäre.
Da k<0 ist, wird h(k) = [mm] 1,5*k*e^k [/mm]  für negative k selbst negativ und hat irgendwo ein Minimum, wohingegen der Flächeninhalt A(k) = -h(k) für negatives k positiv wird und ein Maximum hat.

Gruß Sax.

Bezug
                                                
Bezug
max. Flächeninhalt durch k: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Mo 04.03.2013
Autor: Schennii

das ist alles sehr verwirrend, jetzt weiß ich leider gar nicht mehr wie ich vorgehen soll :(

Bezug
                                
Bezug
max. Flächeninhalt durch k: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 22:53 So 03.03.2013
Autor: Sax

Hi,

die Ableitung von f ist richtig, aber irrelevant, die Ableitung von h ist falsch.

Gruß Sax.

Bezug
                
Bezug
max. Flächeninhalt durch k: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 22:26 So 03.03.2013
Autor: abakus


> Hallo Schennii,
>  
> [willkommenmr] !!
>  
>
> >  Dann habe ich mir überlegt:

>  >  
> > A(k)= 0,5*(f(k)-g(k))*k [mm]=1,5e^k*k[/mm]
>  
> [ok]
>  
>
> >  also habe ich h(x)= [mm]1,5e^x*x[/mm] aufgestellt und wollte daran

> > den Hochpunkt errechnen, da der xWert ja k ergeben hätte,
> > der yWert den Flächeninhalt. Doch diese Funktion hat
> > leider keinen Hochpunkt.
>  
> Das stimmt so nicht. Wie lautet denn die 1. Ableitung
> dieser Funktion?

Hallo Loddar,
ohne Differnzialrechnung sieht man, dass h(x) für wachsende x gegen unendlich geht. So lange der Definitionsbereich nicht eingeschränkt wird, gibt es kein k mit maximalem Flächeninhalt.
Gruß Abakus

>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  


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