max Flaeche eines Rechtecks < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Sa 24.10.2009 | | Autor: | azrael1 |
| Aufgabe | a) Zeigen Sie mit Hilfe einer Kurvendiskussion, dass die Wahl des Quadrats mit a=b=1/2 die maximale Flaeche liefert.
b) Geben Sie einen elementaren Beweis fuer diese Aussage (ohne Verwendung von Differentialrechnung und Kurvendiskussion). |
Hallo,
man soll die Seiten a,b eines Rechtecks so waehlen, dass der Umfang gleich 2 und die Flaeche maximal ist und dies, wie oben genannt beweisen.
Ich habe nun den Ansatz, dass U=2a + 2b und A'=0 sein muss. Fuer A bin ich durch rumprobieren der Werte 1/4*3/4, 1/3*2/3,... auf die Gleichung [mm] (x-1)/x^2 [/mm] gekommen, habe aber keine Ahnung, ob ich die fuer die Flaeche verwenden kann, oder ob sie ueberhaupt richtig ist.
Ich komme bei a) und b) nicht weiter. Habe ueber ein Jahr lang kein Mathe gemacht und haenge nun an sowas fest...
Waere sehr dankbar fuer eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Zu a):
> a) Zeigen Sie mit Hilfe einer Kurvendiskussion, dass die
> Wahl des Quadrats mit a=b=1/2 die maximale Flaeche
> liefert.
"Rumprobieren" gibts bei solchen Aufgaben nicht 
Du hast erkannt, es gibt eine Hauptbedingung, und die ist hier $A(a,b) = a*b$
(A(a,b) ist die Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b).
Nun hast du noch eine Nebenbedingung, nämlich dass der Umfang gleich 2 groß sein soll. Mit a und b Seitenlängen des Rechtecks kommst du also auf: $2 = 2a + 2b [mm] \gdw [/mm] 1 = a+b$
Nun kannst du diese Nebenbedingung umstellen und in deine Hauptbedingung einsetzen: $1 = a+b [mm] \gdw [/mm] a = 1-b$:
$A(b) = (1-b)*b$
Nun hast du deinen Flächeninhalt in Abhängigkeit von b dargestellt, und kannst eine Kurendiskussion beginnen.
Zu b)
> b) Geben Sie einen elementaren Beweis fuer diese Aussage
> (ohne Verwendung von Differentialrechnung und
> Kurvendiskussion).
Nun, da gibt es nun verschiedene Möglichkeiten. Ein etwas mathematisch strenger Beweis würde diese Idee haben (und gilt allgemein für Rechtecke, nicht nur für Umfang 2):
Es seien a,b (a,b > 0) die Seiten des Rechtecks. Betrachte nun für [mm] $r\in\IR$ [/mm] ein Rechteck mit den Seitenlängen (a+r), (b-r). Es gilt: Umfang des alten Rechtecks gleich Umfang des neuen Rechtecks.
Man rechnet leicht nach, dass gilt:
(a+r)*(b-r) = a*b + r*(b-a) + [mm] r^{2} \ge [/mm] a*b,
wenn (b-a) > 0 ist, also b > a.
Das heißt, wir können ein gegebenes Rechteck, bei Erhaltung des Umfangs, in eines mit größerem Flächeninhalt "umwandeln", wenn wir von der längeren Seite b (folgt aus b > a) etwas abziehen, und diese Länge der kürzeren Seite a hinzufügen.
Nur beim Quadrat gibt es keine längere Seite, also kann das Quadrat nicht entsprechend verändert werden, damit ein größerer Flächeninhalt entsteht, also hat das Quadrat den größten Flächeninhalt bei gegebenen Umfang U.
Grüße,
Stefan
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