maximal ellisoid < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:06 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Imkeje |
| Aufgabe | Sei O= [mm] \{(x_1,...,x_n):|x_1|+...+|x_n|\le1\}.
[/mm]
Zeige, dass das Ellispoid mit maximalen volumen in O eine "Kugel" ist mit radius n^(-1/2) und Mittelpunkt im ursprung! |
Kann mir jemand helfen? Finde keinen vernüünftigen ansatz!
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> Sei O= [mm]\{(x_1,...,x_n):|x_1|+...+|x_n|\le1\}.[/mm]
> Zeige, dass das Ellispoid mit maximalen volumen in O eine
> "Kugel" ist mit radius d^(-1/2) und Mittelpunkt im
> ursprung!
> Kann mir jemand helfen? Finde keinen vernüünftigen ansatz!
Hallo,
hast Du die Aufgabe richtig aufgeschrieben?
Sollte es vielleicht eher [mm] |x_1|^2+...+|x_n|^2 \le1 [/mm] heißen?
Was soll d sein?
So wie es dasteht, ist's jedenfalls schon im Zweidimensionalen keine "Kugel", d.h. keine Kreisscheibe, sondern ein Quadrat, welches auf der Ecke steht (wie "Vorfahrt").
Oder verschweigst Du etwas?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Imkeje |
So wie es dar steht, ist es schon richtig! Das d soll jedoch die dimension sein also n!
Ich glaub du hast die aufgabe falsch verstanden, gemeint ist, dass man zeigen, dass in O ( also wie du schon richtig sagtest, dem Quadrat) das Ellipsoid mit dem maximalen Volumen in O gerade eine "Kugel" ist, mit Radius r=n^(-1/2) und Mittelpunkt im Ursprung!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Sa 17.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Falls M nicht bei 0 liegt, kann ich nicht alle Seiten beruehren, kann also noch vergroessern.
2. falls keine Kugel, kann ich die richtung, in der das Ell. die kuerzeste Achse hat vergr.
3. Abstand der Kugel zu allen seiten gleich, ich nehm die Seite x1+x2+...+xn=1 und den Eckpktsvektor v=(1,0,...,0)
einheitsnormale ist n ist [mm] n=1/\wurzel{n}*(1,1,...,1)
[/mm]
skalarprodukt =Abstand von 0 ist [mm] 1/\wurzel{n}.
[/mm]
Wenn dirs nicht einleuchtet, ueberlegs in 3d.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Di 20.03.2007 | | Autor: | Imkeje |
Danke für deine antwort!
Also der punkt 3) ist soweit klar!
1) und 2) sind mir anschaulich auch klar, nur weiß ich nicht wie ich das nun mathematisch zeigen kann!!! Kannst du mir dabei helfen?
Danke nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Di 20.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich ginge rueckwaerts vor, nimm die richtige Kugel, veraendere sie Richtung Ellipsoid in irgendeiner Achsenrichtung, und stell fest, dass das Volumen kleiner wird.
Rechnung wuerd ich keine machen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Imkeje |
ok, sei also K= [mm] \{(x_1,...,x_n)\in \IR^n| \parallel(x-a)\parallel\le1 \} [/mm] mit a=(0,...,0,b), [mm] b\ge0
[/mm]
Das Ellipsoid mit maximalen Volumen in O.
Sei E = [mm] \{(x_1,...,x_n)\in \IR^n| x_1^2+...+x_n_-_1^2+x_n^2/(1+b)^2\le1 \} [/mm] ein Ellipsoid in O.
zz.: 1) E [mm] \subset [/mm] O
2) vol E < vol B
zu 2)
Es gilt vol E = vol B (1+b)
Da Volumen von B maximal, muss also b=0 sein, somit ist E eine Kugel!
bei 1) bin ich noch am überlegen, hat du eine Idee?
Ist 2) denn so richtig? Mir kommt das viel zu einfach und simpel vor!
LG Imkeje
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Mi 21.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ok, sei also K= [mm]\{(x_1,...,x_n)\in \IR^n| \parallel(x-a)\parallel\le1 \}[/mm]
> mit a=(0,...,0,b), [mm]b\ge0[/mm]
> Das Ellipsoid mit maximalen Volumen in O.
> Sei E = [mm]\{(x_1,...,x_n)\in \IR^n| x_1^2+...+x_n_-_1^2+x_n^2/(1+b)^2\le1 \}[/mm]
> ein Ellipsoid in O.
> zz.: 1) E [mm]\subset[/mm] O
warum willst du das zeugen, es gibt sicher irgendein Ellipsoid in O, du musst nur zeigen, dass du jedes das keine Kugel ist vergr, kannst,
sieh dirs in 2d an, mit ner Ellipse, n-dim gelten die gleichen Argumente.
> 2) vol E < vol B
>
> zu 2)
> Es gilt vol E = vol B (1+b)
> Da Volumen von B maximal, muss also b=0 sein, somit ist E
> eine Kugel!
>
> bei 1) bin ich noch am überlegen, hat du eine Idee?
> Ist 2) denn so richtig? Mir kommt das viel zu einfach und
> simpel vor!
Ich glaub, es muss nicht kompl. sein!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Mi 21.03.2007 | | Autor: | Imkeje |
> warum willst du das zeugen, es gibt sicher irgendein
> Ellipsoid in O, du musst nur zeigen, dass du jedes das
> keine Kugel ist vergr, kannst,
> sieh dirs in 2d an, mit ner Ellipse, n-dim gelten die
> gleichen Argumente.
Aber wie kann ich das zeigen?
Tut mir leid wenn ich, mich dumm anstelle, aber ich habe keine Ahnung!
> Ich glaub, es muss nicht kompl. sein!
Was soll das heißen?
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Hallo Imke,
ich weiß nicht, auf welchen weiteren Lösungsweg dich leduart bringen möchte. Meiner geht so...
Seien [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_n [/mm] die Längen der Hauptachsen des Ellipsoids. Dann ist
[mm]V=C_n{\cdot}a_1{\cdot}a_2{\cdot}\dots{\cdot}a_n[/mm],
wobei die Konstante [mm] C_n [/mm] von der Dimension n abhängt.
Diese Funktion V soll unter der Nebenbedingung
[mm]{a_1}^2+{a_2}^2+\dots+{a_n}^2=1[/mm]
maximiert werden. Dass diese Nebenbedingung gilt, muss eigentlich auch bewiesen werden.
Das Maximierungsproblem kann man jetzt z.B. mit der Multiplikatorenmethode von Lagrange lösen. Dabei sieht man, dass alle Hauptachsen gleichlang sein müssen.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Do 22.03.2007 | | Autor: | Imkeje |
Danke für deine Hilfe, verstehe leider auch immer noch nicht so ganz was leduart meint:(.
also erst einmal meine Frage, wieso kommst du auf diese Nebenbedingung???
Warum gilt diese denn?
Habe Lagrange angewendet:
Sei also:
[mm] f(a_1,...,a_n)=C_n *a_1*...*a_n
[/mm]
und
[mm] g(a_1,...,a_n)=a_1^2+...+a_n^2-1=0
[/mm]
Dann gilt:
grad (f) + [mm] \lambda [/mm] grad(g)=0
Also:
[mm] \vektor{C_n*a_2*...*a_n \\C_n*a_1*a_3*...*a_n\\...\\C_n*a_1*...*a_n_-_1 }+\vektor{\lambda*2*a_1 \\...\\\lambda*2*a_n }=0
[/mm]
Es folgt durch rumrechnerei, dass
entweder [mm] a_1=...=a_n=0
[/mm]
Oder [mm] \lambda= C_n/2* (a_3*...*a_n)= C_n/2*(a_1*a_4*...*a_n)=...=C_n*(a_1*...*a_n_-_2), [/mm] dies gilt nur genau dann wenn, [mm] a_1=...=a_n=0.
[/mm]
Ist das so richtig?
Wie kann ich denn zeigen, dass die Kugel den Mittelpunt im Ursprung hat und ihr radius gerade (1/n)^(-1/2) ist
LG imkeje
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Sa 24.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Danke für deine Hilfe, verstehe leider auch immer noch
> nicht so ganz was leduart meint:(.
>
> also erst einmal meine Frage, wieso kommst du auf diese
> Nebenbedingung???
> Warum gilt diese denn?
Ist in meinem anderen Post gezeigt.
> Habe Lagrange angewendet:
>
> Sei also:
> [mm]f(a_1,...,a_n)=C_n *a_1*...*a_n[/mm]
> und
> [mm]g(a_1,...,a_n)=a_1^2+...+a_n^2-1=0[/mm]
>
> Dann gilt:
> grad (f) + [mm]\lambda[/mm] grad(g)=0
> Also:
> [mm]\vektor{C_n*a_2*...*a_n \\C_n*a_1*a_3*...*a_n\\...\\C_n*a_1*...*a_n_-_1 }+\vektor{\lambda*2*a_1 \\...\\\lambda*2*a_n }=0[/mm]
grad hast du sehr unguensig geschrieben:
grad [mm] =\summe_{i=1}^{n} a_i*(1/a1,1/a2,....1/am)^T [/mm]
> Es folgt durch rumrechnerei, dass
dann komm ich auf [mm] a1^2=a2^2=..an^2
[/mm]
> entweder [mm]a_1=...=a_n=0[/mm]
> Oder [mm]\lambda= C_n/2* (a_3*...*a_n)= C_n/2*(a_1*a_4*...*a_n)=...=C_n*(a_1*...*a_n_-_2),[/mm]
> dies gilt nur genau dann wenn, [mm]a_1=...=a_n=0.[/mm]
> Ist das so richtig?
Nein!
> Wie kann ich denn zeigen, dass die Kugel den Mittelpunt im
> Ursprung hat und ihr radius gerade (1/n)^(-1/2) ist
Das hatte ich doch gerade in meinem ersten Post gezeigt.
1. Mittelpkt nicht in 0, kann nicht ueberall beruhren, also in die Mitte schieben und vergroessern.
2. mit [mm] Radius1/\wurzel{n} [/mm] sind die seitenflaechen deines Gebietes grade Tangenten, das hatten wir in einem der ersten posts besprochen.
Mach das alles mal fuer n=2 oder 3 dann siehst du sicher klarer,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 22.03.2007 | | Autor: | Imkeje |
Hallo Leduart,
also ich habs jetzt nochmal versucht und hoffe, dass es so richtig ist!
Sei also [mm] K=\{(x_1,...,x_n)\in \IR^2| n*x_1^2+...+n*x_n^2\le1 \} [/mm] die Kugel in O mit Radius r= 1/sqrt(n).
Verändere K Richtung Ellipsoid in irgend einer Achsenrichtung, hier in [mm] x_n:
[/mm]
Sei also [mm] E=\{(x_1,...,x_n)\in \IR^2| n*x_1^2+...+n*x_n_-_1^2+a*x_n^2\le1 \, wobei a
Zeige, dass Volumen von E kleiner als Volumen von K:
Sei B die einheitsvollkugel in [mm] \IR^n.
[/mm]
Dann gilt VolK= [mm] VolB*(1/n*...*1/n)=VolB*1/n^n [/mm] = volB*1/n^(n-1)*1/n
Und volE=VolB*(1/n*...*1/n)*a=VolB*1/n^(n-1)*1/a.
Da a<n folgt also volE<vol K.
Ist das so richtig?
Ich verstehe nun leider immer noch nicht, warum ich nicht zeigen muß, das E (und K) in O liegen?
Dies ist doch gerade die Bedingung???
Wie zeige ich, dass der Mittelpunkt der Kugel im Ursprung liegt?
Kannst du mir bitte bitte nocheinmal helfen???
MFG
Imkeje
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Sa 24.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hallo Leduart,
> also ich habs jetzt nochmal versucht und hoffe, dass es so
> richtig ist!
> Sei also [mm]K=\{(x_1,...,x_n)\in \IR^2| n*x_1^2+...+n*x_n^2\le1 \}[/mm]
> die Kugel in O mit Radius r= 1/sqrt(n).
Von der haben wir ja bewiesen, dass sie in dem Gebiet liegt, weil alle Setenflaechen Tangential daran sind.
> Verändere K Richtung Ellipsoid in irgend einer
> Achsenrichtung, hier in [mm]x_n:[/mm]
> Sei also [mm]E=\{(x_1,...,x_n)\in \IR^2| n*x_1^2+...+n*x_n_-_1^2+a*x_n^2\le1 \, wobei a
Das geht leider nicht, denn dann ist es nicht mehr das richtige groesste Ellipsoid ,-seitenflaechen nicht mehr Tangenten
> Zeige, dass Volumen von E kleiner als Volumen von K:
>
> Sei B die einheitsvollkugel in [mm]\IR^n.[/mm]
> Dann gilt VolK= [mm]VolB*(1/n*...*1/n)=VolB*1/n^n[/mm] =
> volB*1/n^(n-1)*1/n
> Und volE=VolB*(1/n*...*1/n)*a=VolB*1/n^(n-1)*1/a.
> Da a<n folgt also volE<vol K.
> Ist das so richtig?
>
> Ich verstehe nun leider immer noch nicht, warum ich nicht
> zeigen muß, das E (und K) in O liegen?
> Dies ist doch gerade die Bedingung???
Ja, du musst noch ein Ellipsoid finden, das ueberall tangential ist, das hatte ich zuerst auch uebersehen.
nimm eine Schar von Ellipsoiden,
F(x)= [mm] \summe_{i=1}^{n} x_i^2/a_i^2 [/mm] F=const ist eine konzentrische Schar von Ell.
bilde den grad, der steht senkrecht darauf:
[mm] gradF=(2x_1/a_1^2,...2x_i/a_i^2...)^T [/mm] , er muss parallell [mm] zu(1,1,...1)^T [/mm] sein.
daraus folgt [mm] x1a_i^2/x_ia_1^2=1 [/mm] oder [mm] x_i=a_i^2/a_1^2*x1
[/mm]
ausserdem muss ja gelten [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i=1
[/mm]
damit [mm] x_1=\bruch{a_1^2}{\summe_{i=1}^{n}a_i^2}
[/mm]
Damit die [mm] a_i [/mm] hauptachsen sind muss gelten:
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_i^2=1
[/mm]
und mit dem Beruerpkt [mm] X=(a_1^2,...a_i^2...) [/mm] liegt das Ellipsoid innerhalb.
Sein Volumen ist [mm] VolK1*\produkt_{i=1}^{n}a_i
[/mm]
und es bleibt zu beweisen, dass das Produkt am groessten ist, wenn alle [mm] a_i [/mm] gleich sind, mit der nebenbedingung
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_i^2=1
[/mm]
Das sieht mir jetzt relativ kompliziert aus, scha dies vielleich lieber 2d oder 3d an n-d laeuft dann gleich!
Ich hoff es hilft dir noch, mein netz hier war 2 Tage scheintod.
Gruss leduart
> Wie zeige ich, dass der Mittelpunkt der Kugel im Ursprung
> liegt?
>
> Kannst du mir bitte bitte nocheinmal helfen???
> MFG
> Imkeje
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 24.03.2007 | | Autor: | Imkeje |
Also hab ich das jetz alles richtig vestanden:
1) Zeige, dass falls M nicht in 0 liegt, berühren nicht alle Seitenflächen von O das Ellipsoid, dann kann man das Volumen von E also noch vergrößern, folglich M in 0.
2) Nehme die Kugel K mit maximalen Volumen her, zeige [mm] K\subset [/mm] O.
3) Zeige, dass ich jedes Ellipsoid in O, das keine Kugel ist vergrößern kann, dazu nehme ich eine schar von Elipsoiden, zeige [mm] E\subset [/mm] O, und mit Lagrange dann, dass das Volumen von E maximal ist, genau dann, wenn E eine Kugel ist.
4) zeige [mm] r=1/\wurzel[2]{n}
[/mm]
also zu 1) da habe ich folgendes Problem:
Sei also zum Beispiel [mm] K=\{x\in\IR|n*(x_1-c)^2+x_2^2+...+x_n^2\le1, wobei c\in\IR\}, [/mm] dann berührt K zwar nicht mehr alle Seitenflächen von O, aber es ist auch garnicht mehr in O enthallten.
Ich versstehe schon wie du das anschaulich meinst, aber mein problem ist mal wieder wie ich das mathematisch zeige!
zu2)
Sei also [mm] K=\{x\in\IR|n*x_1^2+...+n*x_n^2\le1\}. [/mm] Zeige, dass die Seitenflächen von O Tangential an K liegen, denn dann gilt [mm] K\subset [/mm] O.
Nehme Seitenfläche [mm] x_1+...+x_n=1, [/mm] dann ist der Normalenvektor dieser seitenfläche gerade [mm] \vec{n}=(1,...,1)^T. [/mm] Zeige der Vektor n ist parallel zum Gradienten von K für [mm] x_1=...=x_n:
[/mm]
Es gilt [mm] gardK=(2*n*x_1,...,2*n*x_n)
[/mm]
Es muß also gleten: [mm] \vec{n}*s= [/mm] gradK, wobei [mm] s\in\IR.
[/mm]
Also [mm] s=2*n*x_1=...=2*n*x_n, [/mm] gdw. [mm] x_1=...=x_n. [/mm] Somit ist die Seitenfläche [mm] x_1+...+x_n=1 [/mm] von O Tangentialfläche von K.
Gleiches folgt für die übrigen Seitenflächen von O.
zu 3)
Sei [mm] E(x)=\summe_{i=1}^{n}\bruch{x_i^2}{a_i^2}, [/mm] E=const.
eine konzentirsche Schar von Ellipsoiden:
Nehme die seitenfläche [mm] x_1+...+x_n=1 [/mm] von O.
Zeige der Gradient von E steht senkrecht auf dieser seiten Fläche im Punkt [mm] (a_1^2,...,a_n^2), [/mm] bzw. Der Gradient ist Parallel zum Normalenvektor der Setenfläche.
Es ist gradE=( [mm] \bruch{2*x_1}{a_1^2},...,\bruch{2*x_n}{a_n^2})^T [/mm] und [mm] \vec{n}=(1,...,1)^T.
[/mm]
Es muß gelten [mm] \vec{n}*s= [/mm] gradE , daraus folgt dann, dass [mm] \bruch{x_1*a_i^2}{x_i*a_1^2}=1 [/mm] oder [mm] x_i=\bruch{a_i^2*x_1}{a_1^2}
[/mm]
ausserdem muss ja gelten [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i=1
[/mm]
damit [mm] x_1=\bruch{a_1^2}{\summe_{i=1}^{n}a_i^2}
[/mm]
Damit die [mm] a_i [/mm] Hauptachsen sind muss gelten:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_i^2=1
[/mm]
somit liegt mit dem Brührpunkt [mm] (a_1^2,...,a_n^2) [/mm] liegt das Ellipsoid E innerhalbvon O.
Zeige das volumen von E ist maximal, unter der Nebenbedingung [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i^2=1 [/mm] wenn E gerade Kugel ist, d.h. wenn alle [mm] a_i [/mm] gleich sind:
Verwende Lagrange:
Sei [mm] E(x)=\summe_{i=1}^{n}\bruch{x_i^2}{a_i^2}, [/mm] E=const., dan gilt
V(a)=Vol E = Vol [mm] B_n *(a_1*...*a_n), [/mm] wobei [mm] B_n [/mm] einheitsvollkugel.
Volumen von E soll unter der Nebenbedungung
[mm] g(a)=a_1^2+...+a_n^2-1=0 [/mm] maximal sein.
bilde Gradienten von V(a):
[mm] Gradv(a)=\summe_{i=1}^{n}a_i*(1/a_1,...,1/a_n)^T
[/mm]
somit gradV(a)+l*gradg(a)=0, wobei [mm] l\in\IR, [/mm] also
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_i*(1/a_1,...,1/a_n)^T+2*l*(a_1,...,a_n)^T=0
[/mm]
Gdw. [mm] a_1^2=..=a_n^2=1.
[/mm]
also gdw. [mm] a_1=...=a_n.
[/mm]
zu 4)
Nehme die seite [mm] x_1+...+x_n=1, [/mm] dann ist der einheitsnormalenvektor auf dieser seite gerade [mm] \vec{n}=1/\wurzel[2]{n}(1,...,1)^T.
[/mm]
Nehme denn Eckpunktsvektor [mm] \vec{a}=(1,0,...,0).
[/mm]
Es [mm] gilt:\vec{nr}=\bruch{\vec{n}*\vec{a}}{\vec{n}^2}*\vec{n}
[/mm]
= 1/n*(1,...,1)
Somit [mm] r=\wurzel[2]{n/n^2}=1/\wurzel[2]{n}
[/mm]
Puhh, sind die Punkte 2) und 3) denn so jetzt in ordnung???
Danke noch mal für deine Hilfe!!!!!
Glg Imkeje
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 So 25.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mir scheint jetzt alles in Ordnung.
Nur Punkt 2, also die Kugel brauchst du am Anfang nicht mehr, da du ja unter 3 zeigst dass das Ellipsoid, das ne Kugel ist das groessste ist. Dann nur noch den abstand zu den Seitenflaechen fuer den Radius bestimmen.
Kugeln mit Mittelpunkt ausserhalb 0 die ueber O rausgehen musst du nicht betrachten. wenn sie den mittelpunkt nicht in 0 haben und einige Seiten beruehreen, koennen si e die anderen nicht beruehren, weil der Abstand groesser ist., ich denk das argument muesste reichen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:14 So 01.04.2007 | | Autor: | Imkeje |
Hey leduart,
vielen vielen dank, du hast mir wirklich sehr geholfen. War letzte Woche bei meinen Professor, es war so alles in ordnung.
DANKE!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Imkeje |
Mein Professor hat mir zu dieser Aufgabe noch einen weiteren Lösungweg gezeigt, den ich noch nicht so ganz verstehe!
Vielleicht kann mir jemand helfn?
Also er sagt, wenn etwa [mm] E=\{(x_1,...,x_n) | \summe_{i=1}^{n}\bruch{x_i^2}{a_i^2} \le1\} [/mm] , dann kann man die [mm] a_i [/mm] variieren, da aber O und E symetrisch sind, sind alle [mm] a_i [/mm] gleichgestellt, d.h. das Problem ist symmetrisch in den Variablen.
Mein Proffessor meinte ich sollte also mit einer Symmetrisierung anfangen, so dass ich E auch schreiben kann als [mm] E=\{(x_1,...,x_n) | \summe_{i=1}^{n}x_i^2 \le b^2\}, [/mm] wobei [mm] 1/b^2=1/n \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{a_i^2}.
[/mm]
Hier versthe ich noch nicht wieso man auf das [mm] 1/b^2=... [/mm] kommt, kannst du mir das erklären?
Folglich ist E also eine Kugel.
Als nächstes soll ich den Radius betrachten:
E soll in O enthallten sein, d.h. es muss gelten
[mm] E=\{(x_1,...,x_n) | \summe_{i=1}^{n}x_i^2 \le b^2\}\subseteq\{(x_1,...,x_n) | \summe_{i=1}^{n}|x_i|\le1\}
[/mm]
Dazu soll ich die folgenden Ungleichung betrachten:
[mm] \summe_{i=1}^{n}|x_i|\le(\summe_{i=1}^{n}|x_i|^2)^{1/2}\wurzel[2]{n}\le1.
[/mm]
Wie kommt er auf diese ungleichung und wie bekomme ich dann den Radius heraus?
Kannst du mir jemand helfen? Ich wäre demjenigen sehr sehr dankbar!
Mit freundlichen Grüßen Imke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 So 08.04.2007 | | Autor: | leduart |
hallo imke
ganz kapier ich nicht, was dein Prof will.
Fand er denn "unseren" beweis nicht richtig?
Ich sehe in deiner Skizze, von dem was er sagt, keinen Hinweis, wo gezeigt wird, dass die Kugel das max. volumen hat.
dass das Problem symmetrisch ist, d.h. dass WENN man ein maximales ellipsoid haette alle mit vertauschten [mm] a_i [/mm] auch maximal waeren ist klar.
aber damit noch nicht, dasss das mit allen [mm] a_i [/mm] gleich das groesste ist.
Wir hatten schon, dass [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i^2=1 [/mm] sein muss, damit das Ellipsoid in O liegt.
jetzt brauchte man noch dass [mm] V=V_{K1}*\produkt_{i=1}^{n}a_i
[/mm]
am groessten ist, (mit der Nebenbed. [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i^2=1 [/mm] ) wenn alle [mm] a_i [/mm] gleich sind. dazu brauchte man ne Ungleichung zwischen arithmetischem Mittel und geom Mittel, in 2d: [mm] a*b\le (a^2+b^2)/2 [/mm] mit gleich nur fuer a=b
entsprechende Ungleichungen gibts in hoeheren dim.
Die letzte Ungl. ist die sog. Schwarzsche Ungleichung zwischen Skalarprodukt und produkt der Betraege:
[mm] \summe_{i=1}^{n}|x_i|=\summe_{i=1}^{n}|x_i*1| [/mm] das Skalarprodukt zw. dem Vektor [mm] (x1,x2,...,xn)^T [/mm] und [mm] (1,1,..1)^T [/mm] wenn ihr den Beweis nicht gemacht hab, sieh unter dem namen nach!
wenn du das hast, folgt aus der letzten Ungl [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i^2\le 1/\wurzel{n} [/mm] da steht der Radius.
aber es fehlt wie gesagt,der Beweis dass die kugek das groesste vol hat. bei [mm] b^2 [/mm] musst du dich wohl verschrieben haben [mm] b^2=1/n*\summe_{i=1}^{n}x_i^2 [/mm] soweit ich das sehen kann.
dadurch dass du [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i^2
Gruss leduart
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