maximales Gebiet bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 So 02.08.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei log: [mm] \IC [/mm] \ [mm] \IR^{-}_0 [/mm] --> [mm] \IC [/mm] der Hauptzweig des Logarithmus.
Bestimme das maximale Gebiet G [mm] \subset \IC, [/mm] auf dem die Funktion [mm] F(z)=\bruch{1}{2i}log\bruch{z-i}{z+i} [/mm] definiert ist. |
Hallo,
wie gehe ich vor bei der Suche nach einem solchen Gebiet?
Danke im Voraus
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Hallo rollroll,
wenn ich die Notation [mm] \IR^{-}_{0} [/mm] recht verstehe, ...
> Sei log: [mm]\IC[/mm] \ [mm]\IR^{-}_0[/mm] --> [mm]\IC[/mm] der Hauptzweig des
> Logarithmus.
> Bestimme das maximale Gebiet G [mm]\subset \IC,[/mm] auf dem die
> Funktion [mm]F(z)=\bruch{1}{2i}log\bruch{z-i}{z+i}[/mm] definiert
> ist.
> Hallo,
> wie gehe ich vor bei der Suche nach einem solchen Gebiet?
> Danke im Voraus
...dann sollstest Du diejenigen $z$ bestimmen, für die das Funktionsargument des [mm] \log, [/mm] also [mm] \br{z-i}{z+i} [/mm] einen positiven Realteil hat.
Grüße
reverend
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Die Antwort von reverend ist zumindest mißverständlich. Die Eingabe des Logarithmus darf hier nicht negativ reell oder 0 sein. Wenn du dich also darum kümmerst, für welche komplexen [mm]z[/mm] diese Eingabe negativ reell oder 0 ist, bekommst du die Menge der komplexen Zahlen, die du für die Definitionsmenge ausschließen mußt.
Du könntest folgendermaßen ansetzen:
[mm]\frac{z - \operatorname{i}}{z + \operatorname{i}} = -t \ \ \text{mit} \ \ t \geq 0[/mm]
Wenn du diese Gleichung nach [mm]z[/mm] auflöst, erhältst du eine Parameterdarstellung der verbotenen [mm]z[/mm] mit dem Parameter [mm]t \geq 0[/mm].
Ich habe als maximalen Definitionsbereich
[mm]D = \mathbb{C} \setminus \left\{ \, \operatorname{i}y \, \left| \, y \in [-1,1] \right. \right\}[/mm]
erhalten, also die Ebene mit einem Schlitz für einen Münzeinwurf.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Mo 03.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das Resultat von Leopold kannst Du auch so bekommen:
Für $z \ne -i$ ist
\bruch{z-i}{z+i}=\bruch{(z-i)(\overline{z}-i)}{|z+i|^2}=\bruch{|z|^2-2iRe(z)-1}{|z+i|^2}.
Somit ist für $z=x+iy$ ($x,y \in \IR$) mit $z \ne -i$ :
$\bruch{z-i}{z+i} \in \IR$ \gdw $x=0$ und $y \in \IR \setminus \{-1\}$.
Für diese $z$ ist $\bruch{z-i}{z+i}=$\bruch{y^2-1}{(y+1)^2} \le 0 \gdw $|y| \le 1$ und $y \ne -1$.
Fazit: F ist definiert auf
$\mathbb{C} \setminus \left\{ \, iy \, \left| \, y \in [-1,1] \right. \right\} $.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 Di 04.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit , mit Moebiustransformationen (definiert auf [mm] $\hat \IC= \IC \cup \{\infty\}.)
[/mm]
$T(z): [mm] =\bruch{z-i}{z+i}$ [/mm] ist eine solche.
[mm] $T:\hat \IC \to \hat \IC$ [/mm] ist bijektiv und (nachrechnen !)
[mm] $T^{-1}(z)=i*\bruch{1+z}{1-z}$.
[/mm]
Nun berechne Du die Menge [mm] $M:=T^{-1}(\IR^{-}_0)$. [/mm] Das gesuchte Gebiet $G$ ist damit
[mm] $G=\Ic \setminus [/mm] M$.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Di 04.08.2015 | | Autor: | rollroll |
Danke für das aufzeigen der verschiedenen Berechnungsmöglichkeiten. Wobei ich die von Leopold Gast um Prinzip am leichtesten finde.
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