maximieren < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Fr 02.07.2010 | | Autor: | kalor |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen!
Ich hab da mal ne Frage: Und zwar geht es darum eine Funktion zu maximieren, allerdings ist das nicht so einfach. Normalerweise, kann ich ja die erste Ableitung nehmen und dann dies gleich 0 setzen um so z.B. Parameter zu erhalten für welche die Funktion maximal ist. Hier ist erstmal meine Funktion:
[mm] \bruch{1}{2}\bruch{u}{u+s}+\bruch{1}{2}\bruch{n-u}{2n-(u+s)}[/mm]
[mm] u+s[/mm] sei fest genau so n. jetzt soll ich u, s bestimmen, so dass dies maximal wird! da [mm] u+s[/mm] fest ist, habe ich dies einmal t genannt:
[mm] \bruch{1}{2}\bruch{u}{t} +\bruch{1}{2}\bruch{n-u}{2n-t}[/mm]
naja wenn ich jetzt das ableite(nach u) und dann gleich 0 setze krieg ich raus, dass [mm] t=n[/mm]. Aber das hilft mir ja nicht gross weiter. Die Lsg sollte [mm] u=1, l=0 [/mm] sein. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte! Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Fr 02.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo kalor,
deine Aufgabenstellung ist mir noch etwas unklar.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallöchen!
>
> Ich hab da mal ne Frage: Und zwar geht es darum eine
> Funktion zu maximieren, allerdings ist das nicht so
> einfach. Normalerweise, kann ich ja die erste Ableitung
> nehmen und dann dies gleich 0 setzen um so z.B. Parameter
> zu erhalten für welche die Funktion maximal ist. Hier ist
> erstmal meine Funktion:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\bruch{u}{u+s}+\bruch{1}{2}\bruch{n-u}{2n-(u+s)}[/mm]
> [mm]u+s[/mm] sei fest genau so n. jetzt soll ich u, s bestimmen, so
> dass dies maximal wird! da [mm]u+s[/mm] fest ist, habe ich dies
> einmal t genannt:
>
Sind u, s die Variablen der Funktion?
Ist die Summe [mm]u+s[/mm] fest?
> [mm]\bruch{1}{2}\bruch{u}{t} +\bruch{1}{2}\bruch{n-u}{2n-t}[/mm]
>
> naja wenn ich jetzt das ableite(nach u) und dann gleich 0
> setze krieg ich raus, dass [mm]t=n[/mm]. Aber das hilft mir ja nicht
> gross weiter. Die Lsg sollte [mm]u=1, l=0[/mm] sein. Wäre super,
> wenn mir jemand helfen könnte! Danke!
Woher soll das [mm] l=0[/mm] kommen? (ein Tipfehler?)
Gruß meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Fr 02.07.2010 | | Autor: | kalor |
Ja u+s soll fest sein. Bitte entschuldigt! Das ist natürlich ein Tippfehler! Es sollte nicht l sondern s heissen!
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> Ich hab da mal ne Frage: Und zwar geht es darum eine
> Funktion zu maximieren, allerdings ist das nicht so
> einfach. Normalerweise, kann ich ja die erste Ableitung
> nehmen und dann dies gleich 0 setzen um so z.B. Parameter
> zu erhalten für welche die Funktion maximal ist. Hier ist
> erstmal meine Funktion:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\bruch{u}{u+s}+\bruch{1}{2}\bruch{n-u}{2n-(u+s)}[/mm]
> [mm]u+s[/mm] sei fest genau so n. jetzt soll ich u, s bestimmen, so
> dass dies maximal wird! da [mm]u+s[/mm] fest ist, habe ich dies
> einmal t genannt:
>
> [mm]\bruch{1}{2}\bruch{u}{t} +\bruch{1}{2}\bruch{n-u}{2n-t}[/mm]
>
> naja wenn ich jetzt das ableite(nach u) und dann gleich 0
> setze krieg ich raus, dass [mm]t=n[/mm]. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
in der entsprechenden Rechnung hast du wohl einen
schlimmen Fehler (Bruchrechnen) begangen ...
> Aber das hilft mir ja nicht
> gross weiter. Die Lsg sollte [mm]u=1, l=0[/mm] sein. Wäre super,
> wenn mir jemand helfen könnte! Danke!
Hallo,
Für die Suche nach Extremalstellen kann man auf den Faktor [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
verzichten. Dann haben wir die neue Zielfunktion
[mm]f(u)\ =\ \bruch{u}{t} +\bruch{n-u}{2n-t}[/mm]
Diese Funktion ist linear in u. Extremalstellen liegen also an den
Rändern des Definitionsbereiches, den du aber gar nicht ange-
geben hast.
Falls übrigens t=n≠0 , dann ist f eine konstante Funktion.
Extremalstellen liegen dann nicht nur am Rand des Defini-
tionsintervalls, sondern auch überall in dessen Innerem.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Fr 02.07.2010 | | Autor: | kalor |
Ja das war leider auch ein Tippfehler für n = t. Sorry!
f ist eine Wahrscheinlichkeit, also im Intervall [0,1].
Ich sehe aber nicht ein, wieso jetzt u = 1 und
s = 0 sein muss. Mich interssiert ja für welche Werte u, s
die Funktion maximal wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Fr 02.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo kalor,
für ein lokales Maximun reicht [m]f'(x)= 0[/m] nicht aus, es muss auch [m]f''(x)....[/m].
Wenn Du den letzten Teil der vorherigen Antwort beachtest und einige Geraden über [m][0,1] [/m] zeichnest, siehst Du wahrscheinlich die Antwort ...
Gruß meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 04.07.2010 | | Autor: | kalor |
| Aufgabe | Man hat zwei Körbe mit Kugeln vor sich. Zuerst wählt man einen Korb zufällig aus. Dann zieht man aus dem Korb zufällig eine Kugel. Im Korb 1 sind u grüne und s gelbe Kugeln. Im Korb 2 sind n-u grüne und n-s gelbe Kugeln vorhanden. Man bekommt also für die Wahrscheinlichkeit eine grüne Kugel zu ziehen:
P[Ziehen einer grünen Kugel][mm] = \bruch{1}{2}\bruch{u}{u+s}+\bruch{1}{2}\bruch{n-u}{2n-(u+s)}[/mm]
halten Sie u+s fest und überlegen berechnen Sie für welche Werte u, s dies maximal wird |
> Hallo kalor,
>
> für ein lokales Maximun reicht [m]f'(x)= 0[/m] nicht aus, es muss
> auch [m]f''(x)....[/m].
>
> Wenn Du den letzten Teil der vorherigen Antwort beachtest
> und einige Geraden über [m][0,1][/m] zeichnest, siehst Du
> wahrscheinlich die Antwort ...
>
> Gruß meili
Hallo meili!
Erstmal, danke für deine Hilfe!
> für ein lokales Maximun reicht [m]f'(x)= 0[/m] nicht aus, es muss
> auch [m]f''(x)....[/m].
Richtig, es muss auch noch gelten: [mm] f''(x) < 0[/mm].
Betreffend Maximum:
[mm] f(u)\ =\ \bruch{u}{t} +\bruch{n-u}{2n-t} = u \bruch{2n-2t}{t(2n-t)}+\bruch{n}{2n-t}[/mm] Damit sehe ich, dass es eine lineare Funktion ist welche eine positive Steigung hat. Aber wie komm ich jetzt weiter? Ich hab mal den die Aufgabe oben abgeschrieben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 So 04.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo kalor,
> ... eine lineare Funktion mit positiver Steigung ...
Die fragliche Funktion ist auf einem beschränkten und abgeschlossen Intervall definiert.
Damit lässt sich doch sagen, wo das Maximun der Funktion liegt.
(Ist auch ganz anschaulich geometrisch so)
Gruß meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 04.07.2010 | | Autor: | kalor |
Bitte entschuldige, ich seh's nicht. Deiner Antwort stimme ich absolut zu. Das Maximum liegt also am äußersten (rechten) Rand des intervals. Wieso weiß ich aber, dass das 1 ist und wie bekomme ich dann für s die Lösung 0 raus?
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Hallo kalor,
die Funktion f(u) ist doch auf dem Intervall [0,t] definiert. Wenn sie linear mit positiver Steigung ist, liegt ihr Maximum also am rechten Rand, also für [mm] u=t\Rightarrow [/mm] s=0.
Das könntest Du dann einsetzen und von neuem bestimmen, für welches u der Funktionswert maximal ist.
Allerdings gibt es da eine Hürde, die Du bisher ignoriert hast. Du darfst voraussetzen, dass [mm] 2n-t\ge{0} [/mm] ist, weil der zweite Korb sonst eine negative Zahl von Kugeln enthielte. Dass aber [mm] 2n-\blue{2}t\ge{0} [/mm] ist, gibt die Aufgabe ja nicht an. Damit kann, abhängig von n, Deine Gerade durchaus auch eine negative Steigung haben!
Du wirst um eine Fallunterscheidung nicht herumkommen, und außerdem fehlt Dir selbst für den bisher untersuchten Fall noch die Fortführung unter der Voraussetzung s=0.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mo 05.07.2010 | | Autor: | kalor |
Ok, das sehe ich ein, allerdings wird in der Lösung keinen Fallunterschied vorgenommen. Es steht einfach: [mm] u=1, s=0[/mm].
Zudem wenn man, wie sagst vorgeht und ich verwende, dass ich weiss, dass [mm] s=0 [/mm]. Dann vereinfacht sich ja meine Funktion. Ich kann anstatt t nun einfach u hinschreiben. Wenn ich jetzt aber wissen will, für welches u das dies max. wird: 1. Ich leite ab, und setze die Ableitung gleich null und löse nach u auf. Leider ist diese Gleichungssystem nicht lösbar (es kommt kein u mehr vor, ich hab das mit dem Computer nachgerechnet). Also wie sollte ich dann auf [mm] u = 1 [/mm] kommen. Diese Aufgabe scheint mir sehr komisch!
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> Ok, das sehe ich ein, allerdings wird in der Lösung keinen
> Fallunterschied vorgenommen. Es steht einfach: [mm]u=1, s=0[/mm].
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> Zudem wenn man, wie sagst vorgeht und ich verwende, dass
> ich weiss, dass [mm]s=0 [/mm]. Dann vereinfacht sich ja meine
> Funktion. Ich kann anstatt t nun einfach u hinschreiben.
> Wenn ich jetzt aber wissen will, für welches u das dies
> max. wird: 1. Ich leite ab, und setze die Ableitung gleich
> null und löse nach u auf. Leider ist diese
> Gleichungssystem nicht lösbar (es kommt kein u mehr vor,
> ich hab das mit dem Computer nachgerechnet). Also wie
> sollte ich dann auf [mm]u = 1[/mm] kommen. Diese Aufgabe scheint mir
> sehr komisch!
Hallo kalor,
wir haben doch schon längst festgestellt, dass deine
Zielfunktion linear (eventuell sogar konstant) ist.
In diesem Fall kannst du die ganze Schublade der
Extremwertaufgaben mittels "Ableitung gleich null
setzen etc." einfach vergessen, denn sie bringt dich
in diesem (einfachen !) Fall eben nicht weiter !
Eine auf einem endlichen Intervall definierte lineare
Funktion $\ p:\ [mm] u\mapsto\ [/mm] m*u+b$ nimmt ihren maximalen Wert am
rechten Intervallende an, falls die Steigung m positiv
ist und am linken Intervallende, falls m negativ ist.
Du musst dich also nur um den Faktor m kümmern,
mit dem u in der Funktion p multipliziert wird.
LG Al-Chw.
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