maximum eines Kreises berechnen? < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo ich habe ein kleines Problem:
Gegeben sind mir 2 Funktionen :
f(x)= [mm] \wurzel{1-x²} [/mm] - 1 ; im Intervall [0;1]
und
f(x)= -[mm] \wurzel{2x-x²} [/mm] ; im Intervall [1;2]
Diese beiden Funktionen verlaufen unter der x-Achse und zusammen mit der Bengrenzen sie eine Fläche die 1FE groß sein müsste.
So jetzt wollt ich von euch wissen, ob es möglich ist, dass ich den Flächeninhalt eines Kreises berechnen kann, der in der genannten Fläche liegt, und dabei die x-Achse und die beiden Funktionen berührt. Der Kreis ist sozusagen maximal in dieser Fläche.
Mit berühren meine ich nicht schneiden sondern sozusagen tangieren, also einen gemeinsamen Punkt haben.
Wäre nett wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, vielleicht geht es irgendwie mit Maximalwertberechnung o.A.??
Jetzt schonmal vielen Dank für ihre Antworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:38 Mo 16.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zwieback86!
> f(x)= [mm]\wurzel{1-x²}[/mm] - 1 ; im Intervall [0;1]
>
> und
>
> f(x)= -[mm] \wurzel{2x-x²}[/mm] ; im Intervall [1;2]
>
> Diese beiden Funktionen verlaufen unter der x-Achse und
> zusammen mit der Bengrenzen sie eine Fläche die 1FE groß
> sein müsste.
> So jetzt wollt ich von euch wissen, ob es möglich ist, dass
> ich den Flächeninhalt eines Kreises berechnen kann, der in
> der genannten Fläche liegt, und dabei die x-Achse und die
> beiden Funktionen berührt. Der Kreis ist sozusagen maximal
> in dieser Fläche.
Hier eine Skizze der Situation:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die rote und grüne Kurve sind deinen beiden Funktionen, das türkis gefärbte ist die Fläche, in der der Kreis liegen soll.
Ich bin mit folgender Vorgehensweise zum Ziel gekommen:
Betrache (zunächst) eine feste Stelle [mm] $x_0\in(0,2)$.
[/mm]
Nun suche ich denjenigen Punkt [mm] $P(x_0|y_0)$, [/mm] der von der x-Achse und der grünen Kurve denselben Abstand hat.
Der Abstand von der x-Achse ist offenbar [mm] -y_0, [/mm] den Abstand von dem grünen Halbkreis findest du recht einfach, wenn du dir zunächst überlegst, welchen Abstand P vom Mittelpunkt [mm] M_1(1|0) [/mm] des grünen Halbkreises hat (zur Erinnerung: Der Abstand zweier Punkte [mm] P_1(x_1|y_1) [/mm] und [mm] P_2(x_2|y_2) [/mm] berechnet sich zu [mm] $d=\wurzel{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$).
[/mm]
Setzt du nun diese beiden Terme für die Abstände gleich, so erhältst du eine Gleichung, die man nach [mm] y_0 [/mm] auflösen kann.
Lassen wir nun [mm] x_0 [/mm] frei in (0,2) variieren, so erhalten wir eine Parabel; sie ist sozusagen eine Ortskurve aller Punkte, die von dem grünen Halbkreis und der x-Achse denselben Abstand haben.
Auf die gleiche Art und Weise findest du eine Parabel für die Punkte, die von dem roten Halbkreis und der x-Achse denselben Abstand haben.
Der Schnittpunkt [mm] $S(x_s|y_s)$ [/mm] beider Parabeln hat nun von allen drei Objekten (roter Halbkreis, grüner Halbkreis und x-Achse) denselben Abstand -- es ist dies der Mittelpunkt eines Kreises, der alle drei Objekte berührt.
Hier noch mal dasselbe Schaubild von oben, mit den beiden Parabeln eingezeichnet (freilich ohne Angabe der Funktionvorschriften, damit dir auch noch etwas Übung bleibt  )
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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hallo marc,
von mir wieder die anwenderfragen *grins*
wie kriegst du die skizzen da hin?
eigenes programm? wenn ja welches? sind ja super *auchhabenmag*
lieber gruss
judith
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Di 17.08.2004 | | Autor: | diejudith |
hallo marc,
bin auf der suche nach einem guten programm. (mein computer stöhnt und ächzt schon bei dem gedanken daran, noch etwas in sich aufzunehmen)
und dass ich es gleich mit dem entwickler zu tun krieg, beim ersten programm, das mich zu begeistern scheint... hätt ich das gewusst, wär mein kompliment noch viel umfangreicher ausgefallen
ich bleib dabei: *ich auch haben mag!!!*
sobald ich mir eine neue kiste hier leisten kann, kriegst du postwendend bescheid!!!!
lieber gruss judith
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mo 16.08.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Ui das ging aber schnell, vielen Dank. Auf diesen Lösungsansatz wäre ich nie im Leben gekommen.
Danke, auch für das Programm, das werde ich mal ausprobieren.
mfg.
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www.funkyplot.de
*mal Werbung für Marc mach* xD
