mehrdimensionale Verwirrung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Fr 18.05.2012 | | Autor: | Marschal |
| Aufgabe | Guten Abend. Ich bräuchte eure Hilfe bei einer Aufgabe. Gegeben ist:
$ [mm] U\subset \IR^n [/mm] $ offen und [mm] N_a:=\{x\in U\ |\ f(x)=a\}
[/mm]
$ [mm] f:U\to \IR [/mm] $ und $ e: [mm] (-\varepsilon [/mm] , [mm] \varepsilon )\to N_a \subset \IR^n [/mm] $ sind stetig differenzierbar. Außerdem ist $ [mm] f(x_0)=a [/mm] $ für ein $ [mm] x_0 \in [/mm] U $.
zu zeigen ist: Ist [mm] e(0)=x_0, [/mm] so folgt $ [mm] \langle \operatorname{grad}f(x_0) [/mm] , e'(0) [mm] \rangle [/mm] = 0 $ |
Ich komme einfach nicht auf die Lösung. Ich habe nur Bruchstücke, die ich nicht zusammenfügen kann:
So wie ich das sehe ist $ f( [mm] e(\zeta [/mm] ))=a $ und damit
$ [mm] \operatorname{grad}\Big(f(e(\zeta ))\Big)=0\quad \iff \quad \operatorname{grad}\Big(f\Big)( e(\zeta ))\cdot e'(\zeta [/mm] ) =0 $. Für das [mm] \zeta [/mm] hätte ich auch 0 einsetzen können.
Ich weiß nicht einmal ob das richtig ist, geschweige denn, ob mich das weiterbringt.
Könnt ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:38 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend. Ich bräuchte eure Hilfe bei einer Aufgabe.
> Gegeben ist:
> [mm]U\subset \IR^n[/mm] offen und [mm]N_a:=\{x\in U\ |\ f(x)=a\}[/mm]
>
> [mm]f:U\to \IR[/mm] und [mm]e: (-\varepsilon , \varepsilon )\to N_a \subset \IR^n[/mm]
> sind stetig differenzierbar. Außerdem ist [mm]f(x_0)=a[/mm] für
> ein [mm]x_0 \in U [/mm].
>
>
> zu zeigen ist: Ist [mm]e(0)=x_0,[/mm] so folgt [mm]\langle \operatorname{grad}f(x_0) , e'(0) \rangle = 0[/mm]
>
> Ich komme einfach nicht auf die Lösung. Ich habe nur
> Bruchstücke, die ich nicht zusammenfügen kann:
>
> So wie ich das sehe ist [mm]f( e(\zeta ))=a[/mm]
anders gesagt: $f [mm] \circ [/mm] e$ ist konstant [mm] $a\,$ [/mm] auf [mm] $(-\varepsilon,\;\varepsilon)$! [/mm] Korrekt (weil ja [mm] $e((-\varepsilon,\;\varepsilon)) \subseteq N_a$ [/mm] ist)!
> und damit
>
> [mm]\operatorname{grad}\Big(f(e(\zeta ))\Big)=0\quad \iff \quad \operatorname{grad}\Big(f\Big)( e(\zeta ))\cdot e'(\zeta ) =0 [/mm].
> Für das [mm]\zeta[/mm] hätte ich auch 0 einsetzen können.
Du bist doch eigentlich fertig: Nach Voraussetzung ist [mm] $e(0)=x_0\,,$ [/mm] und wenn Du Dir klarmachst, dass diese Zeile
[mm] $$\operatorname{grad}\Big(f(e(\zeta ))\Big)=0\quad \iff \quad \operatorname{grad}\Big(f\Big)( e(\zeta ))\cdot e'(\zeta [/mm] ) =0$$
(eventuell hast Du bei [mm] $\text{grad}\,$ [/mm] ein "transponiert" vergessen: das sollte dort ja ein Zeilenvektor sein - jedenfalls, wenn das Produkt ein "Matrixprodukt" ist!) das gleiche ist wie
[mm] $$\operatorname{grad}\Big(f(e(\zeta ))\Big)=0\;\;\; \gdw\;\;\; <\;\text{grad}(f(e(\zeta))),\;e'(\zeta)>=0\,,$$
[/mm]
folgt damit mit [mm] $\zeta=0$ [/mm] gerade
[mm] $$<\;\text{grad}(f(\;\;\underbrace{e(0)}_{=x_0}\;\;)),\;e'(\;\;\underbrace{\zeta}_{=0}\;\;)>=0\,.$$
[/mm]
Okay: Man sollte noch kurz erwähnen, dass in der Tat $0 [mm] \in (-\varepsilon,\;\varepsilon)$ [/mm] ist - aber selbst, wenn man das vergessen würde, würde ich davon ausgehen, dass der Aufgabenbearbeiter sich dessen bewußt war!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Marschal |
Danke Marcel für deine Antwort.
also $ [mm] \underbrace{\zeta}_{\in (-\varepsilon , \varepsilon )} \mapsto \underbrace{e(\zeta )}_{\in \IR^n} [/mm] = [mm] \big(e_1(\zeta [/mm] ),\ [mm] \ldots [/mm] ,\ [mm] e_n(\zeta )\big)\qquad \Rightarrow \quad J_e(\zeta [/mm] ) = [mm] \vektor{\frac{\partial e_1(\zeta )}{\partial \zeta } \\ \vdots \\ \frac{\partial e_n(\zeta )}{\partial \zeta } } [/mm] $
$ [mm] \underbrace{\big(e_1(\zeta ),\ \ldots ,\ e_n(\zeta )\big)}_{\in \IR^n} \mapsto \underbrace{f\big(e(\zeta )\big)}_{\in \IR} [/mm] = [mm] f\big(e_1(\zeta [/mm] ),\ [mm] \ldots [/mm] ,\ [mm] e_n(\zeta )\big) \qquad \Rightarrow \quad \operatorname{grad}f [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial e_1(\zeta )}\\ \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial e_n(\zeta )} \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \Big(f\big(e(\zeta )\big)\Big)' [/mm] = [mm] \operatorname{grad}f \cdot J_e(\zeta [/mm] ) $
$ [mm] \Big(f\big(e(0)\big)\Big)' [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial e_1(\zeta )}\big(e_1(0)\big) \\ \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial e_n(\zeta )}\big(e_1(0)\big) \end{pmatrix}\cdot \vektor{\frac{\partial e_1(0)}{\partial \zeta } \\ \vdots \\ \frac{\partial e_n(0)}{\partial \zeta } } [/mm] $
Ich komm nicht ganz auf das "transponiert" und irgendwie... habe ich die Vektoren überhaupt richtig aufgestellt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Danke Marcel für deine Antwort.
>
> also [mm]\underbrace{\zeta}_{\in (-\varepsilon , \varepsilon )} \mapsto \underbrace{e(\zeta )}_{\in \IR^n} = \big(e_1(\zeta ),\ \ldots ,\ e_n(\zeta )\big)\qquad \Rightarrow \quad J_e(\zeta ) = \vektor{\frac{\partial e_1(\zeta )}{\partial \zeta } \\ \vdots \\ \frac{\partial e_n(\zeta )}{\partial \zeta } }[/mm]
>
>
> [mm]\underbrace{\big(e_1(\zeta ),\ \ldots ,\ e_n(\zeta )\big)}_{\in \IR^n} \mapsto \underbrace{f\big(e(\zeta )\big)}_{\in \IR} = f\big(e_1(\zeta ),\ \ldots ,\ e_n(\zeta )\big) \qquad \Rightarrow \quad \operatorname{grad}f = \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial e_1(\zeta )}\\ \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial e_n(\zeta )} \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \Big(f\big(e(\zeta )\big)\Big)' = \operatorname{grad}f \cdot J_e(\zeta )[/mm]
>
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> [mm]\Big(f\big(e(0)\big)\Big)' = \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial e_1(\zeta )}\big(e_1(0)\big) \\ \vdots\\ \frac{\partial f}{\partial e_n(\zeta )}\big(e_1(0)\big) \end{pmatrix}\cdot \vektor{\frac{\partial e_1(0)}{\partial \zeta } \\ \vdots \\ \frac{\partial e_n(0)}{\partial \zeta } }[/mm]
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> Ich komm nicht ganz auf das "transponiert" und irgendwie...
> habe ich die Vektoren überhaupt richtig aufgestellt?
ich hatte da was dazugeschrieben. Also, so, wie ich das sehe, ist bei Euch [mm] $\text{grad}f(x)$ [/mm] ein Spaltenvektor (das ist meistens so und wird auch fast immer so definiert - aber manchmal erweist es sich in der Analysis als günstiger, [mm] $\text{grad}$ [/mm] als Zeilenvektor zu definieren). Aber das ist ja eh nur Definitionssache...
Und Du hast [mm] $\cdot\,$ [/mm] dann als Skalarmultiplikation benutzt im Sinne von $a [mm] \cdot b=(a_1,...,a_n)^T \cdot (b_1,...,b_n)^T=\sum_{k=1}^n a_kb_k\,$ [/mm] wobei
[mm] $$a=(a_1,...,a_n)^T=\vektor{a_1\\\vdots\\a_n} \in \IR^n$$
[/mm]
und
[mm] $$b=(b_1,...,b_n)^T=\vektor{b_1\\\vdots\\b_n} \in \IR^n\,.$$
[/mm]
Wenn ich nun mit [mm] $\bullet$ [/mm] das Matrixprodukt bezeichne, dann kann ich auch schreiben
$$a [mm] \cdot b=a^T \bullet b=(a_1,...,a_n) \bullet \vektor{b_1\\\vdots\\b_n}\,.$$
[/mm]
Weil mir nicht ganz klar war, ob bei Euch/Dir [mm] $\cdot\,$ [/mm] nun das (euklidische bzw. Standard-) Skalarprodukt auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] ist, oder ob es ein Matrixprodukt bezeichnet, habe ich auch geschrieben, dass Du "eventuell" ein transponiert vergessen hast: Du hättest es nur vergessen, wenn bei Dir [mm] $\cdot$ [/mm] im Sinne von [mm] $\bullet$ [/mm] gemeint war - was aber anscheinend nicht der Fall ist.
Aber Du bist doch nun mit der Aufgabe sowieso fertig? Oder soll [mm] $\,$ [/mm] was anderes bedeuten als $a [mm] \cdot b\,,$ [/mm] wenn $a,b [mm] \in \IR^n$ [/mm] und [mm] $\cdot: \IR^n \times \IR^n \to \IR$ [/mm] mit $a [mm] \cdot b:=\cdot(a,b):=\sum_{k=1}^n a_k b_k$?
[/mm]
Die Aussage kann/könnte man nämlich auch ein wenig allgemeiner formulieren und beweisen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Marschal |
Nein nein ich danke dir.
Ich habe mehrere Zettel voll geschrieben und bin deshalb etwas durcheinander. Los ging es schon damit, ob ich ein [mm] x\in \IR^n [/mm] so schreibe $ [mm] (x_1,\ \ldots [/mm] ,\ [mm] x_n) [/mm] $ oder so [mm] \vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_n}. [/mm] Aber wenn du sagst das ist Definitionssache und man nimmt es so wie es besser passt, dann ist das gut, dass ich das jetzt weiß. Dankeschön. Ich hatte mich nämlich schon ein paar mal das gefragt.
Den Malpunkt habe ich als Matrixprodukt gesehen, da es ja in dem Fall, wie du auch gesagt hast gleich ist zum Standardskalarpodukt.
Also schreibe ich den Gradient dann einfach als Zeilenvektor, aber das schreibe ich dann noch am besten dazu, dass es in meinem Fall günstiger ist, wenn ich ihn als Zeilenvektor schreibe, wenn es sowieso nur "Geschmackssache" ist.
Danke noch einmal!
MfG Marschal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nein nein ich danke dir.
>
> Ich habe mehrere Zettel voll geschrieben und bin deshalb
> etwas durcheinander. Los ging es schon damit, ob ich ein
> [mm]x\in \IR^n[/mm] so schreibe [mm](x_1,\ \ldots ,\ x_n)[/mm] oder so
> [mm]\vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_n}.[/mm] Aber wenn du sagst das ist
> Definitionssache und man nimmt es so wie es besser passt,
> dann ist das gut, dass ich das jetzt weiß.
naja, dass das überhaupt geht, liegt daran, dass [mm] $\IK^{n \times 1}$ [/mm] und [mm] $\IK^{1 \times n}$ [/mm] isomorph sind.
> Dankeschön.
> Ich hatte mich nämlich schon ein paar mal das gefragt.
>
> Den Malpunkt habe ich als Matrixprodukt gesehen, da es ja
> in dem Fall, wie du auch gesagt hast gleich ist zum
> Standardskalarpodukt.
Vorsicht: Wenn [mm] $\cdot$ [/mm] das Matrixprodukt ist, dann ist, wenn wir nun [mm] $<.,.>\,$ [/mm] als Standardskalarprodukt nehmen, das nicht ganz das gleiche:
Es gibt eine Matrixproduktschreibweise, um dann [mm] $\,$ [/mm] für $a,b [mm] \in \IR^n$ [/mm] zu beschreiben:
Dann gilt nämlich [mm] $=a^T\cdot b\,.$ [/mm] Das "Matrixprodukt" $a [mm] \cdot [/mm] b$ wäre dann ja i.a. gar nicht definiert: [mm] $a\,$ [/mm] hat eine Spalte, aber [mm] $b\,$ [/mm] hat [mm] $n\,$ [/mm] Zeilen.
Pass' auf: Wenn [mm] $:=\sum_{k=1}^n a_kb_k$ [/mm] ist, dann sind ja $a,b [mm] \in \IR^n$ [/mm] entweder beides Zeilen- oder beides Spaltenvektoren. Standardmäßig kenne ich es so, dass $a,b [mm] \in \IR^n$ [/mm] Spaltenvektoren sind, das heißt, man fasst dann auf
$$a,b [mm] \in \IR^n \cong \IR^{n \times 1}\,.$$
[/mm]
Jetzt siehst Du da zwei Matrizen: [mm] $a,b\,$ [/mm] bestehen aus [mm] $n\,$ [/mm] Zeilen und einer Spalte. Bei einem Matrixprodukt $A [mm] \cdot [/mm] B$ muss aber die Anzahl der Spalten von [mm] $A\,$ [/mm] mit der Anzahl der Zeilen von [mm] $B\,$ [/mm] übereinstimmen. Berechnet man nun [mm] $a^T\cdot b\,,$ [/mm] so ist [mm] $a^T \in \IR^{1 \times n}$ [/mm] und [mm] $b\in \IR^{n \times 1}\,,$ [/mm] also ist es möglich, dass Matrixprodukt [mm] $a^T\cdot [/mm] b$ zu berechnen, und das Ergebnis ist strenggenommen erstmal eine Matrix aus [mm] $\IR^{1 \times 1}\,.$ [/mm] Aber den [mm] $\IR^{1 \times 1}$ [/mm] identifiziert man dann wieder mit [mm] $\IR\,.$ [/mm] Und wenn man sich das anguckt, wie das Matrixprodukt eben definiert ist, sieht man:
[mm] $$=a^T \cdot b\,.$$
[/mm]
Beispiel:
Ich betrachte die Spaltenvektoren [mm] $\vektor{2\\3},\;\vektor{5\\7} \in \IR^2\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$<\vektor{2\\3},\vektor{5\\7}>=2*5+3*7=31\,.$$
[/mm]
Jetzt berechne ich folgendes Matrixprodukt:
[mm] $$\vektor{2\\3}^T\cdot \vektor{5\\7}=(2,3) \cdot \vektor{5\\7}=(2*5+3*7)=(31)=31\,.$$
[/mm]
Du siehst: Bei der Gleichheit am Ende habe ich den [mm] $\IR^{1 \times 1}$ [/mm] mit [mm] $\IR$ [/mm] identifiziert.
> Also schreibe ich den Gradient dann einfach als
> Zeilenvektor, aber das schreibe ich dann noch am besten
> dazu, dass es in meinem Fall günstiger ist, wenn ich ihn
> als Zeilenvektor schreibe, wenn es sowieso nur
> "Geschmackssache" ist.
Ich persönlich würde einfach in Eure Definition gucken: Ich meine, es ist ja kein Problem, solltet ihr den Gradienten als Spaltenvektor definiert haben, dann einfach mit "Gradient transponiert" zu rechnen.
> Danke noch einmal!
Gerne. Ich glaube, inhaltlich ist Dir eh alles klar. Du bist ein wenig durch Notationen verwirrt. Manchmal ist es gut, sich bei einer Vorlesung, wenn es zu anderen Vorlesungen abweichende Notationen gibt, sich das irgendwo zu markieren oder sowas wie ein "Notations-/Symbolverzeichnis" anzulegen. Ich kenne es auch so: In meiner Analysis-Vorlesung war der Gradient ständig ein Zeilenvektor, und kaum ist man in der Numerik oder arbeitet mit Physikern, schon benutzen die den ständig als Spaltenvektor. In der Funktionalanalysis macht's auch oft mehr Sinn, den als Spaltenvektor zu schreiben...
Aber wie gesagt: Ich würde mich an die Definition, die gegeben ist, halten, und dann halt schlimmstenfalls sowas wie [mm] $(\text{grad}f(x))^T \cdot [/mm] a$ schreiben, wenn ich den Gradienten als Zeilenvektor bräuchte...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Mo 21.05.2012 | | Autor: | Marschal |
Danke für alles Marcel,
jetzt wurde doch noch die eine oder andere Unklarheit bei mir beseitigt 
War fast wie ein Tutorat hier.
Freundliche Grüße und eine gute Nacht!
Marschal
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