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| Aufgabe | Ein Staubecken wird zur Zeit der Schneeschmelze gefüllt. Da die Schneeschmelze temperaturabhängig ist, kann die momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion w mit
w(t) = [mm] 50*sin(\bruch{\pi}{12}*t)+60; 0\le [/mm] t [mm] \le [/mm] 24
beschrieben werden (t in Stunden, w(t) in m³/h).
In welchem Zeitraum ist die momentane Zuflussrate größer als 100 m³/h? |
Mit dem GTR bekomme ich dabei zwei Lösungen ( t= 3,54 & t=8,46)
Wenn ich das von Hand ausrechne bekomme ich nur eine Lösung (t=3,54).
w(t)> 100;
[mm] 50*sin(\bruch{\pi}{12}*t)+60 [/mm] = 100;
[mm] sin(\bruch{\pi}{12}*t) [/mm] = [mm] \bruch{4}{5}; [/mm]
[mm] \bruch{\pi}{12}*t [/mm] = [mm] arcsin(\bruch{4}{5});
[/mm]
[mm] \bruch{\pi}{12}*t [/mm] = 0,927;
t=3,54;
Wie komme ich (ohne GTR) an die zweite Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mi 20.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ein Staubecken wird zur Zeit der Schneeschmelze gefüllt.
> Da die Schneeschmelze temperaturabhängig ist, kann die
> momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion w mit
> w(t) = [mm]50*sin(\bruch{\pi}{12}*t)+60; 0\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 24
> beschrieben werden (t in Stunden, w(t) in m³/h).
>
> In welchem Zeitraum ist die momentane Zuflussrate größer
> als 100 m³/h?
> Mit dem GTR bekomme ich dabei zwei Lösungen ( t= 3,54 &
> t=8,46)
> Wenn ich das von Hand ausrechne bekomme ich nur eine
> Lösung (t=3,54).
> w(t)> 100;
> [mm]50*sin(\bruch{\pi}{12}*t)+60[/mm] = 100;
> [mm]sin(\bruch{\pi}{12}*t)[/mm] = [mm]\bruch{4}{5};[/mm]
> [mm]\bruch{\pi}{12}*t[/mm] = [mm]arcsin(\bruch{4}{5});[/mm]
> [mm]\bruch{\pi}{12}*t[/mm] = 0,927;
> t=3,54;
>
> Wie komme ich (ohne GTR) an die zweite Lösung?
Du musst zwei Sachen beachten, einerseits die [mm] 2$\pi$-Periodizität [/mm] des Sinus und andererseits die Tatsache, dass [mm] \sin(x)=\sin(\pi-x)
[/mm]
Also folgt nach der Anwendung des Arkussinus auf die Gleichung [mm] \sin\left(\frac{\pi}{12}\cdot t\right)=\frac{4}{5} [/mm] folgende Gleichungen:
[mm] \frac{\pi}{12}\cdot t=\arcsin\left(\frac{4}{5}\right)
[/mm]
und
[mm] \pi-\frac{\pi}{12}\cdot t=\arcsin\left(\frac{4}{5}\right)
[/mm]
Daraus folgen dann die beiden Lösungen 3,54 und 8,46
Nun beachte noch die [mm] 2$\pi$-Periodizität, [/mm] alle Lösungen der Gleichung wären also:
[mm] 3,54+2k\pi [/mm] und [mm] 8,46+2k\pi [/mm] dabei ist [mm] k\in\IZ
[/mm]
Marius
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erst mal Danke für die Antwort, hat mir auch schon weitergeholfen.
Die beiden Lösungen sollen aber die einzigen sein, Wenn ich mir jetzt mal die beiden Seiten der Ausgangsgleichung als Funktionen anzeigen lasse, macht es auch Sinn, dass es nur zwei Lösungen sind.
Wieso ist dann 3,54 [mm] +2\pi [/mm] (k=1) = 9,82 auch eine Lösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mi 20.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> erst mal Danke für die Antwort, hat mir auch schon
> weitergeholfen.
> Die beiden Lösungen sollen aber die einzigen sein, Wenn
> ich mir jetzt mal die beiden Seiten der Ausgangsgleichung
> als Funktionen anzeigen lasse, macht es auch Sinn, dass es
> nur zwei Lösungen sind.
> Wieso ist dann 3,54 [mm]+2\pi[/mm] (k=1) = 9,82 auch eine Lösung?
Weil ich mich da leider vertan habe. Die Periodenlänge dieser Funktion ist hier nicht [mm] 2$\pi$, [/mm] wie bei der "Standard-Sinusfunktion", sondern 24, denn du hast ja noch den Vorfaktor [mm] \frac{\pi}{12} [/mm] vor dem t.
Damit bekommst du dann natürlich keine weiteren Lösungen im Intervall von 0 bis 24.
Falls du dir die Bedeutung der Parameter der Sinusfunktion nochmal genauer anschauen willst, kann ich ![[]](/images/popup.gif) die Zusammenfassung bei mathenexus nur empfehlen.
Marius
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