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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Fr 12.06.2009 | | Autor: | Primel |
| Aufgabe | | Sei f eine meromorphe Funktion auf [mm] \IC\in\{\infty\} [/mm] und D= [mm] N(f)\cup [/mm] P(f) die Menge der Null- und Polstellen von f in [mm] \IC\in\{\infty\}. [/mm] Dann gilt [mm] \summe_{z \in D} [/mm] ord f=0 |
Ich hab probleme mit dieser Aufgabe, weil ich Schwierigkeiten habe zu verstehen, was genau eine Ordnung ist. Kann mir da einer weiterhelfen? Das wär super!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Fr 12.06.2009 | | Autor: | zorin |
Eine meromorphe Funktion kannst du um einem Punkt in eine Laurent-Reihe entwickeln, und dann ist ord in diesem Punkt die ganze Zahl, an deren Stelle die Reihe anfängt.
Stell dir die Funktion [mm] z^n [/mm] um 0 vor für eine ganze Zahl n, [mm] ord_0(z^n)=n. [/mm] Wenn n>0 ist, ist 0 eine n-fache Nullstelle. Wenn n<0 ist, ist 0 eine (-n)-fache Polstelle.
[mm] ord_z(f) [/mm] ist also an den meisten Stellen Null. An den Null- und Polstellen ist es die Vielfachheit/Ordnung dieser Stellen, wobei das Vorzeichen bei Polstellen negativ ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:59 So 14.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Eine meromorphe Funktion kannst du um einem Punkt in eine
> Laurent-Reihe entwickeln, und dann ist ord in diesem Punkt
> die ganze Zahl, an deren Stelle die Reihe anfängt.
>
> Stell dir die Funktion [mm]z^n[/mm] um 0 vor für eine ganze Zahl n,
> [mm]ord_0(z^n)=n.[/mm] Wenn n>0 ist, ist 0 eine n-fache Nullstelle.
> Wenn n<0 ist, ist 0 eine (-n)-fache Polstelle.
>
> [mm]ord_z(f)[/mm] ist also an den meisten Stellen Null. An den Null-
> und Polstellen ist es die Vielfachheit/Ordnung dieser
> Stellen, wobei das Vorzeichen bei Polstellen negativ ist.
>
>
Mit Verlaub, aber wenn man einen derart kranatenmäßigen Schwachsinn verzapft, ist nun wirklich niemandem geholfen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 So 21.06.2009 | | Autor: | zorin |
Hallo Fred,
> > Eine meromorphe Funktion kannst du um einem Punkt in eine
> > Laurent-Reihe entwickeln, und dann ist ord in diesem Punkt
> > die ganze Zahl, an deren Stelle die Reihe anfängt.
[...]
> Mit Verlaub, aber wenn man einen derart kranatenmäßigen
> Schwachsinn verzapft, ist nun wirklich niemandem geholfen.
War die Frage, was die Ordnung bzw. was ord ist, oder die übliche Bitte, die Aufgabe vorgerechnet zu bekommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Fr 12.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei f eine meromorphe Funktion auf [mm]\IC\in\{\infty\}[/mm] und D=
> [mm]N(f)\cup[/mm] P(f) die Menge der Null- und Polstellen von f in
> [mm]\IC\in\{\infty\}.[/mm] Dann gilt [mm]\summe_{z \in D}[/mm] ord f=0
> Ich hab probleme mit dieser Aufgabe, weil ich
> Schwierigkeiten habe zu verstehen, was genau eine Ordnung
> ist. Kann mir da einer weiterhelfen? Das wär super!
Noch zwei Tipps zu dieser Aufgabe.
1) Ueberleg dir mal, wie das mit den Ordnungen bei rationalen Funktionen aussieht. Oder erstmal bei Polynomen.
2) Ueberleg dir, wie meromorphe Funktionen auf [mm] $\IC \cup \{ \infty \}$ [/mm] ueberhaupt aussehen koennen. Ich behaupte: das was du dir unter 1) angeschaut hast reicht schon voellig aus 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Sa 13.06.2009 | | Autor: | Tina3 |
Hallo!Ich habe noch eine Frage dazu: und zwar kann ich ja jede meromorphe Funktion auf [mm] \IC [/mm] (dach) als rationale Funktion darstellen. Die Nullstellen sind ja dann sozusagen die Punkte für die der Zähler null wird und die Polstellen die für die der Nenner null wird. Betrachte ich nun [mm] \summe_{z\inD}ord_{z} [/mm] so adiere ich für die Nullstellen ja gerade immer die Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle auf(weil für die gilt, dass die so und so vielte Ableitung ungleich null ist)
Jetzt müsste die Summe der Ordnungen von den Polstellen ja gerade das negative davon sein.
jedoch verstehe ich nicht wie dass sein kann, da angenommen [mm] f(z)=irgendwas/(z-z_0)^{n} [/mm] die Ableitung doch gegeben ist durch [mm] f'(z)=-n*irgendwas*(z-z_0)^{n-1} [/mm] und das ja egal welche Ableitung ich betrachte =0 ist wenn ich die Polstelle einsetze? Also irgendwie stehe ich auf dem schlauch und komm gerade nicht darauf warum sich die ordnung dann weghebt.
Kann mir nochmal jemand helfen?
Lieben Gruß Tina3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Sa 13.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hallo!Ich habe noch eine Frage dazu: und zwar kann ich ja
> jede meromorphe Funktion auf [mm]\IC[/mm] (dach) als rationale
> Funktion darstellen. Die Nullstellen sind ja dann sozusagen
> die Punkte für die der Zähler null wird und die Polstellen
> die für die der Nenner null wird. Betrachte ich nun
> [mm]\summe_{z\inD}ord_{z}[/mm] so adiere ich für die Nullstellen ja
> gerade immer die Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle
> auf(weil für die gilt, dass die so und so vielte Ableitung
> ungleich null ist)
Ja. Allerdings ist hier eine andere (aequivalente) Definition der Ordnung hilfreicher:
Die Ordnung von $f$ an der Stelle [mm] $z_0$ [/mm] ist genau dann $n$, wenn man $f(z) = (z - [mm] z_0)^n \cdot [/mm] h(z)$ schreiben kann mit einer meromorphen Funktion $h$, die in [mm] $z_0$ [/mm] weder einen Pol noch eine Nullstelle hat.
Wenn man also $f(z) = (z - [mm] a)^n [/mm] (z - [mm] b)^m$ [/mm] hat mit $a [mm] \neq [/mm] b$ und $n, m [mm] \in \IZ$, [/mm] dann ist [mm] $ord_a(f) [/mm] = n$ und [mm] $ord_b(f) [/mm] = m$, weil $(b - [mm] a)^n \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] (a - [mm] b)^m$ [/mm] ist und sie somit weder Nullstelle noch Pol in $b$ bzw. $a$ haben.
In diesem Fall ist uebrigens [mm] $ord_\infty(f) [/mm] = -n - m$ und [mm] $ord_z(f) [/mm] = 0$ fuer $z [mm] \not\in \{ a, b, \infty \}$.
[/mm]
> Jetzt müsste die Summe der Ordnungen von den Polstellen ja
> gerade das negative davon sein.
> jedoch verstehe ich nicht wie dass sein kann, da
> angenommen [mm]f(z)=irgendwas/(z-z_0)^{n}[/mm] die Ableitung doch
> gegeben ist durch [mm]f'(z)=-n*irgendwas*(z-z_0)^{n-1}[/mm] und das
> ja egal welche Ableitung ich betrachte =0 ist wenn ich die
Nein, das ist nicht die Ableitung. Also es sei denn du tust noch einige Potenzen von $z - [mm] z_0$ [/mm] in $irgendwas$. Die Ableitung ist eher von der Form $f'(z) = -n * irgendwas / (z - [mm] z_0)^{n+1}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 14.06.2009 | | Autor: | Tina3 |
Mein Fehler: ich meinte auch die Ableitung (hab das minus vor dem n im Exponenten vergessen).Wenn ich jetzt aber für [mm] z_0 [/mm] eine Polstelle einsetzte steht doch immer noch null im nenner und dass darf nicht ?
und außerdem frage ich mich sowieso warum die Ordnung an den Polstellen negativ sein kann in unserer definition steht die soll aus [mm] \IN_0 [/mm] sein (und sie gibt ja auch den grad der ableitung an ab wann diese ungleich null ist, was würde eine negative zahl dann bedeuten? das ich so oft integrieren muss?)
Sorry dass ich nochmal nachfrage aber irgendwie will ich das jetzt verstehen, tue es aber nicht :-(
Lieben Gruß und Danke für die Antwort
Tina3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:07 Di 16.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Tina3
> Mein Fehler: ich meinte auch die Ableitung (hab das minus
> vor dem n im Exponenten vergessen).Wenn ich jetzt aber für
> [mm]z_0[/mm] eine Polstelle einsetzte steht doch immer noch null im
> nenner und dass darf nicht ?
Weil (endliche) Pole durch's ableiten nicht weggehen. Du musst sie wegintegrieren.
> und außerdem frage ich mich sowieso warum die Ordnung an
> den Polstellen negativ sein kann in unserer definition
> steht die soll aus [mm]\IN_0[/mm] sein (und sie gibt ja auch den
> grad der ableitung an ab wann diese ungleich null ist, was
> würde eine negative zahl dann bedeuten? das ich so oft
> integrieren muss?)
Ihr habt da offenbar nur die Nullstellenordnung definiert, aber nicht die Polstellenordnung. Ansonsten kann ich nicht viel dazu sagen, da ich nicht hellsehen kann was ihr da genau definiert habt.
Konzentrier dich doch erstmal darauf dir zu ueberlegen, wie die auf [mm] $\IC \cup \{ \infty \}$ [/mm] meromorphen Funktionen ueberhaupt aussehen.
Oder, versuch das ganze erstmal konkret fuer rationale Funktionen, also Brueche von Polynomen. Benutze den Fundamentalsatz der Algebra. Was kannst du hier ueber Pol- und Nullstellen sagen?
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 So 21.06.2009 | | Autor: | zorin |
> und außerdem frage ich mich sowieso warum die Ordnung an
> den Polstellen negativ sein kann in unserer definition
> steht die soll aus [mm]\IN_0[/mm]
Wenn f in a eine Nullstelle der Ordnung [mm] n\ge1 [/mm] hat, dann kann man f in der Nähe von a schreiben als [mm](z-a)^nh(z)[/mm], wobei h holomorph mit [mm]h(a)\not=0[/mm]. (Potenzreihenentwicklung)
Wenn f in a eine Polstelle der Ordnung [mm] n\ge1 [/mm] hat, dann kann man f schreiben als [mm](z-a)^{-n}h(z)[/mm] mit h holomorph und [mm]h(a)\not=0[/mm]. (Laurent-Entwicklung)
Hat f dort weder Pol- noch Nullstelle, dann ist [mm] f(a)\not=0, [/mm] somit n=0.
Die Ordnung einer Pol- oder Nullstelle ist also nach Definition immer nicht-negativ.
Die ord-Funktion verbindet nun beide Fälle, wobei für Nullstellen ord="Ordnung der Nullstelle" ist und für Polstellen das negative der (positiven) Ordnung der Polstelle.
Es ist einfach die ganze Zahl n, mit der die Laurent-Reihe anfängt bzw mit der man schreiben kann [mm]f(z)=(z-a)^nh(z)[/mm] wie oben, wobei eben bei einer Polstelle n<0 ist.
Ist z.B. [mm]ord_0f=1[/mm], dann hat f in 0 eine einfache Nullstelle.
Ist [mm]ord_0f=-2[/mm], dann hat [mm]f[/mm] in 0 eine Polstelle der Ordnung 2.
Das Minus-Zeichen ist sozusagen das Zeichen für "Polstelle".
Das Beispiel mit [mm] z^n [/mm] ist wichtig, da sich f in der Nähe von Pol- und Nullstellen verhält wie [mm] z^n [/mm] um 0.
Und hat [mm] z^n [/mm] in 0 eine n-fache Nullstelle, dann hat [mm] 1/z^n=z^{-n} [/mm] eine n-fache Polstelle in 0 und umgekehrt.
Polstellen und Nullstellen sind sich im Grunde ähnlich. Wenn man 1/f statt f betrachtet, dann ist eine Polstelle wie eine Nullstelle, wenn man sich auf den Kopf stellt.
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