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| Aufgabe | Sei [mm](\Omega,\mathcal F,\mu)[/mm] ein Maßraum, [mm]\varphi:[0,\infty)\to (0,\infty)[/mm] aufsteigend.
Dann ist [mm]\varphi:([0,\infty),\mathcal B\cap[0,\infty))\to([0,\infty),\mathcal B\cap[0,\infty))[/mm] messbar.
Außerdem gilt für eine Borel-messbare Funktion [mm]f[/mm] und [mm]a\ge 0[/mm] mit [mm]\varphi(a)>0:[/mm]
[mm]\mu(|f|\ge a)\le\frac{1}{\varphi(a)}\mu(\varphi\circ|f|)[/mm] |
Hallo zusammen,
wow, hier stehe ich ganz weit hinten an.
Wie zeige ich hier Messbarkeit von [mm]\varphi[/mm] und was sagt mir die Zusatzbehauptung überhaupt?
Kann mir bitte jemand verraten, wo ich ansetzen soll?
Merci!
Gruß
schachuzipus
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*push* 
Hier muss ein Vermessungstheoretiker ran
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo,
für die Messbarkeit von monotonem f reicht es ja zu zeigen,
dass [mm] f^{-1}((-\infty,a])=\{f\le a\}\in\IB [/mm] für alle [mm] a\in\IR.
[/mm]
Nun kann man ja die einzelnen Fälle durchspielen:
1.Fall. [mm] \{f\le a\}=[/mm] [mm]\emptyset[/mm][mm] \in\IB
[/mm]
2.Fall. [mm] \{f\le a\}=\IR\in\IB
[/mm]
3.Fall. [mm] \{f\le a\}\not=\emptyset,\IR:
[/mm]
Setze [mm] M:=\sup\{f\le a\}
[/mm]
Falls [mm] M\in\{f\le a\} \Rightarrow \{f\le a\}=(-\infty,M]\in\IB.
[/mm]
Falls [mm] M\not\in\{f\le a\} \Rightarrow \{f\le a\}=(-\infty,M)\in\IB,
[/mm]
da f monoton wachsend ist.
Bei der zweiten Ungleichung handelt es sich um die Markov-Ungleichung.
LG!
Fry
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Hallo Fry,
ich danke recht artig für deine gute Antwort!
Gruß
schachuzipus
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